机器学习3：K近邻法K-Nearest-Neighbor Classifier/KNN（基于R languagePython）

  $k$ 近邻法是一种基本分类与回归问题。$k$ 近邻法的输入为实例的特征向量，对应于特征空间中的点；输出为实例的类别，可以取很多类。$k$ 近邻法假设给定一个训练数据集，其中的实例类别已定。分类时，对新的实例，根据其 $k$ 个最近邻的训练实例的类别，通过多数表决等方式进行预测。因此，$k$ 近邻法不具有显式的学习过程。$k$ 近邻法实际上利用训练数据集对特征向量空间进行划分，并作为其分类的“模型”。$k$ 近邻法的三个要素是：$k$ 值的选择、距离度量及分类决策规则¹。

基本原理方法

$k$ 近邻法概述

  $k$ 近邻法的算法如下：

输入：训练集 D = { ( x i , y i ) } i = 1 N D=\{(x_i,y_i)\}_{i=1}^N D={(xi​,yi​)}i=1N​ ，其中 $x_i$ 为实例的特征向量，$y_i$ 为实例的类别
输出：实例 $x$ 所属的类别 $y$
（1）根据给定的距离度量，在训练集 $D$ 中找出与 $x$ 最近邻的 $k$ 个点，涵盖这 $k$ 个点的 $x$ 的邻域称为 $N_k(x)$；

（2）在 $N_k(x)$ 中根据分类决策规则（如多数表决）决定 $x$ 的类别 $y$：$y=argma{x}_{c_j}{\sum }_{x_i\in N_k(x)}I(y_i=c_j),i=1,2,\cdots ,N;j=1,2,\cdots ,K$，即有 $K$ 种类别。

  $k$ 近邻法是一种惰性学习算法，它存储训练集实例但并没有立刻进行建模，直到获得测试集，必须对其进行分类为止才开始进行建模。

懒惰学习算法：只存储训练数据（或仅进行少量处理）但并不马上进行建模，等到给出测试集才开始建模。

与之相反地，

积极学习算法：给定训练集就立马进行建模，再接收新的测试数据在建立好的模型上进行预测。

  除了 $k$ 近邻法之外，典型的惰性学习算法还有局部加权回归、构造局部近似、基于案例的推理和使用符号表示和基于知识的推理。

  KNN算法需要有四个步骤：

• 定量变量标准化
• 距离度量
• 定义邻居个数 $k$
• 预测
  • 分类问题：多数投票 Majority Vote
  • 回归问题：把邻居的取值平均 Averaging

定量变量标准化

  由于计算距离时，会涉及到将变量所有维度相加的计算，故需要对每个变量进行标准化。否则，因为尺度不同的原因，尺度比较大的变量比尺度比较小的变量会有更大的影响。

  在叙述具体怎么做标准化之前，有一个重中之重的提醒：训练集标准化完了以后，测试集的标准化是要利用训练集标准化的“工具”来进行的！例如中心标准化，测试集标准化必须用训练集数据的均值和标准差，这是因为在建好模型预测之前是不可以动用测试集的信息的，一切信息只能来源于训练集。

  标准化方法主要有两种，一种是 $min-max$ 归一化（归一化后数据被缩放到 $[0,1]$ 范围内）：

$$x_{normalization}=\frac{x-min(x)}{max(x)-min(x)}$$

另一种是 $z-score$ 标准化：

$$x_{standardization}=\frac{x-mean(x)}{std(x)}$$

距离度量

定量变量的距离度量

  特种空间中两个实例点的距离是两个实例点相似程度的反映。$k$ 近邻模型的特征空间一般是 $n$ 维实数向量空间 ${\text{R}}^n$，使用的是欧式距离。一般地，有两种距离度量方式：欧式距离和闵氏距离。

  特征空间中两点的欧式距离为：

$$d(x_i,x_j)=\sqrt{\sum _{l=1}^m(x_i^{(l)}-x_j^{(l)}{)}^2}$$

其中 $x_i=(x_i^1,x_i^2,\cdots ,x_i^m)$；

  特征空间中两点的曼哈顿距离为：

$$d(x_i,x_j)=\sum _{l=1}^m\mid x_i^{(l)}-x_j^{(l)}\mid$$

  特征空间中两点的闵氏距离为：

$$d(x_i,x_j)=(\sum _{l=1}^m\mid x_i^{(l)}-x_j^{(l)}{\mid }^p{)}^{\frac{1}{p}}$$

  以下图为例，绿色的直线代表两点之间的欧式距离，而红色和黄色的线为两点的曼哈顿距离。感受一下两者的不同²：

定性变量的距离度量

  定性变量就是属于同一类别的亮点距离为0，属于不同类别的两点距离为1（0-1距离）。

  举例说明定性变量的距离度量，X={red}，Y={red}，Z={blue}，d(X,Y)=0，d(X,Z)=1。

缺失值的距离度量

  定性变量在0-1距离度量下，取值若为缺失值的点的距离定义：

  定量变量在0-1正则化后，取值若为缺失值的点的距离定义：

$k$ 值的选择

  $k$ 值的选择会对 $k$ 近邻法的结果产生重大影响。

  如果选择较小的 $k$ 值，即用较小的邻域中的训练集实例进行预测。会导致学习的近似误差(bias)减小——只有与输入实例较近的（相似的训练实例）才会对预测结果起作用；但缺点是学习的估计误差(variance)会增大——预测结果会对近邻的实例点非常敏感：只要变换一下训练集中的实例，邻居实例就会变化很大，从而导致预测结果变化很大。

  换句话说，$k$ 值的减少就意味着整体模型变得复杂，容易发生过拟合。

  如果选择较大的 $k$ 值，即用较大的邻域中的训练集实例进行预测。其优点是可以减少学习的估计误差，但缺点是学习的近似误差会增大。这时与输入实例较远的（不相似的）训练实例也会对预测起作用，是预测发生错误。

  换句话说，$k$ 值的增大就意味着整体模型变得简单。

  在应用中，$k$ 值一般取取 3～10 或取 $\sqrt{n}$