本文主要是介绍先验概率、似然函数、后验概率、贝叶斯公式,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!
转自:http://www.sigvc.org/why/book/3dp/chap10.8.1.htm
联合概率的乘法公式:
(如果随机变量是独立的,则)
由乘法公式可得条件概率公式:,
全概率公式:,其中
(,则可轻易推导出上式)
贝叶斯公式:
又名后验概率公式、逆概率公式:后验概率=似然函数×先验概率/证据因子。解释如下,假设我们根据“手臂是否很长”这个随机变量(取值为“手臂很长”或“手臂不长”)的观测样本数据来分析远处一个生物是猩猩类别还是人类类别(假设总共只有这2种类别)。我们身处一个人迹罕至的深山老林里,且之前就有很多报道说这里有猩猩出没,所以无需观测样本数据就知道是猩猩的先验概率(Prior Probability)较大,比如根据历史数据估计有70%=0.7。接着,我们得到了的观测样本数据:“手臂很长”──而猩猩类别表现为这种特征的类条件概率,或者说这种“可能性”即似然(Likelihood)较大,相比于人类表现为“手臂很长”的似然。所以经这次观测之后加强了我们的判断:是一只猩猩的后验概率(Posterior Probability)变得比先验概率更大,超过了之前的70%!反之,如果观测发现这个生物的手臂不长,而猩猩类别表现为“手臂不长”的似然较小,则会减弱我们的判断,是猩猩的后验概率将小于70%。因此,后验概率包含了先验信息以及观测样本数据提供的后验信息,对先验概率进行了修正,更接近真实情况。此外,证据因子(Evidence,也被称为归一化常数)可仅看成一个权值因子,以保证各类别的后验概率总和为1从而满足概率条件。
如果我们的目标仅仅是要对所属类别作出一个判别:是“猩猩”还是“人类”,则无需去计算后验概率的具体数值,只需计算哪个类别的后验概率更大即可。假设猩猩和人类出现的先验概率相等, ,则此时类别的判定完全取决于似然 和 的大小。因此, 似然函数( Likelihood:“可能性”)的重要性不是它的具体取值,而是当参数(如类别参数) 变化时,函数到底变小还是变大,以便反过来对参数进行估计求解(估计出是 还是 )。
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