《随机变量及其分布》_2021秋季《概率论与数理统计》复习笔记2.0_基于浙大第五版和华东师大版

说明

• 主要基于浙大第五版
• 并非详细教程笔记，仅作梳理用（教程性笔记可移步另一篇博客）
• 偏重概念理解和澄清误区

注意大小写字母的区分，例如$X$（随机变量）和$x$（实数或分布函数的自变量）、$P$（概率）和$p$（分布律）等，手写时需要自己能分清。

随机变量及其分布

随机变量的取值随试验结果而定，在试验之前不能预知它取什么值。

一个事件尽管在一次试验中发生的概率很小，但只要试验次数很多，且试验独立进行，那么这一事件的发生几乎是肯定的，所以绝不能轻视小概率事件。

分布函数

• 对于非离散型随机变量，我们更关注随机变量的取值落在某个区间的概率 P { x 1 < X ≤ x 2 } P\{x_1<X\leq x_2\} P{x1​<X≤x2​}，而不是某个值的概率。由于
  P { x 1 < X ≤ x 2 } = P { X ≤ x 2 } − P { X ≤ x 1 } P\{x_1<X\leq x_2\}=P\{X\leq x_2\}-P\{X\leq x_1\} P{x1​<X≤x2​}=P{X≤x2​}−P{X≤x1​}
  我们为了研究 P { X ≤ x } P\{X\leq x\} P{X≤x}，引入分布函数的概念。

  （离散型随机变量同样可以使用分布函数）

• 性质

  1. 不减
  2. $0\le F(x)\le 1,F(-\infty )=0,F(\infty )=1$
  3. 右连续

  具备这三条性质的函数必是某个随机变量的分布函数

• 连续型随机变量的分布函数是连续函数

概率密度函数

基于3b1b，类似于微积分的理解

• 性质

  1. $f(x)\ge 0$
  2. ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x=1$
  3. P { x 1 < X ≤ x 2 } = ∫ x 1 x 2 f ( x ) d x P\{x_1<X\leq x_2\}=\int_{x_1}^{x_2}f(x){\rm d}x P{x1​<X≤x2​}=∫x1​x2​​f(x)dx
  4. 若$f(x)$在$x$连续，则有$F^{\prime }(x)=f(x)$

  若$f(x)$具备性质$1,2$，引入$G(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)\mathrm{d}t$，则$G(x)$是某一随机变量的分布函数，$f(x)$是该随机变量的概率密度

• 在计算连续型随机变量落在某一区间的概率时，不必区分区间开闭。

• 如何理解概率密度

  个人认为依然可以延续先前研究分布函数时提到的“关注随机变量的取值落在某个区间的概率”的思想，
  P { x 1 < X ≤ x 2 } = F ( x + Δ x ) − F ( x ) = f ( x ) Δ x P\{x_1<X\leq x_2\}=F(x+\Delta x)-F(x)=f(x)\Delta x P{x1​<X≤x2​}=F(x+Δx)−F(x)=f(x)Δx
  类似于线密度的定义，在一段很小的$\Delta x$内，取 f ( x ) = P { x 1 < X ≤ x 2 } Δ x f(x)=\frac{P\{x_1<X\leq x_2\}}{\Delta x} f(x)=ΔxP{x1​<X≤x2​}​作为小区间$(x,x+\Delta x)$上的概率密度。在将柱划分得更细的过程中，落在该区间中的概率越小，而这种概率上的变小可以通过基本维持$f(x)$的高度、同时缩小$\Delta x$实现。
  
  

  • $f(x)$并不代表$P(X=x)$这一点的概率（$P(X=x)=0$，因为线的面积是$0$）。

    由于连续型随机变量的区间概率计算与离散型不同，$P(x\in D)\ne {\sum }_{x\in D}P(x)$，即$P(x\in D)$本身就是基本的研究对象，所以“无限个$0$相加等于$1$”（$\forall x\in D,P(X=x)=0$，然而$P(X\in D)=1$）的悖论，就被$P(X\in D)=S=\sum S_i$这样面积的累加绕开了。

    更多相关内容可学习测度论勒贝格积分

• “概率为$0$的事件可能会发生”

  从理解的角度，概率密度函数和可能性的关系更大，而不是和概率。可以拿3b1b视频中的例子，P(H)精确等于0.7的概率为0，但可能性依然存在。

  于是，不可能事件$A$的概率$P(A)=0$，但若$P(A)=0$，$A$不一定是不可能事件。

• 对于概率密度函数是偶函数的情况，有
  $$F(-a)+F(a)=1$$
  从面积角度理解，$F(-a)={\int }_{-\infty }^{-a}f(x)dx={\int }_a^{+\infty }f(x)dx$，这块面积与$F(a)$代表面积之和即为整个PDF覆盖的面积。

• 随机变量$X$的函数的分布

  函数$g(x)$满足$\forall x\in D,g^{\prime }(x)>0(或恒<0)$，则$Y=g(X)$是连续型随机变量，pdf为
  $$f_Y(y)=\{\begin{array}{ll}{f}_X[h(y)]|h^{\prime }(y)|,& \alpha <y<\beta \\ 0,& 其他\end{array}$$
  $h(y)$为$g(x)$的反函数，$\alpha \beta$易得。

  • 关键在于将$F(y)$转化为$P(Y\le y)$，进而转化为$P(g(X)\le y)$，变换得到$F(X)$，再将处理后的式子对$y$进行求导