【算法|动态规划No.16】leetcode931. 下降路径最小和

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1️⃣题目描述

给你一个 n x n 的方形整数数组 matrix ，请你找出并返回通过 matrix 的下降路径的最小和。

下降路径可以从第一行中的任何元素开始，并从每一行中选择一个元素。在下一行选择的元素和当前行所选元素最多相隔一列（即位于正下方或者沿对角线向左或者向右的第一个元素）。具体来说，位置 (row, col) 的下一个元素应当是 (row + 1, col - 1)、(row + 1, col) 或者 (row + 1, col + 1) 。

示例1：

输入：matrix = [[2,1,3],[6,5,4],[7,8,9]]
输出：13
解释：如图所示，为和最小的两条下降路径

示例2：

输入：matrix = [[-19,57],[-40,-5]]
输出：-59
解释：如图所示，为和最小的下降路径

注意：

n == matrix.length == matrix[i].length
1 <= n <= 100
-100 <= matrix[i][j] <= 100

2️⃣题目解析

初始化：

dp表多开辟了一块空间。这是因为在计算最小下降路径和时，每一行的路径和都依赖于上一行的路径和。为了简化边界条件的处理，我们可以在dp表的第一行和最后一行外分别多开辟一列，将这些额外的空间初始化为INT_MAX。这样，当计算最小路径和时，我们不必特殊处理边界情况，而是统一使用通用的递推公式。（简而言之，多开辟了一行两列的空间）

状态表示：

dp[i][j]表示到达(i,j)位置的最小下降路径和

状态转移方程：

dp[i][j] = max(max(dp[i-1][j-1],dp[i-1][j]),dp[i-1][j+1]) + matrix[i][j]

返回值：

循环遍历dp表中的所有有效位置：ret = min(ret,dp[n][i]);

for(int i = 1;i <= n;i++)
{ret = min(ret,dp[n][i]);
}
return ret;

3️⃣解题代码

class Solution {
public:int minFallingPathSum(vector<vector<int>>& matrix) {int n = matrix.size();vector<vector<int>> dp(n + 1,vector<int>(n + 2,INT_MAX));for(int i = 0;i < n + 2;i++) dp[0][i] = 0;for(int i = 1;i <= n;i++){for(int j = 1;j <= n;j++){int x = dp[i - 1][j - 1],y = dp[i - 1][j],z = dp[i - 1][j + 1];dp[i][j] = matrix[i - 1][j - 1] + min(min(x,y),z);}}int ret = INT_MAX;for(int i = 1;i <= n;i++){ret = min(ret,dp[n][i]);}return ret;}
};