04-导数判断凹（concave）凸(convex)性_导数用于泰勒展开

导数与函数凹凸性的关系

函数的二阶导数是和函数的凹凸性是有关系的，凹凸性怎么定义的？
先来做简单的回顾，更多的会在最优化方法里面给大家讲，这里先记住凸函数是向下凸的， 反正就是凹的，是否是凸函数可以通过二阶导数，如果二阶导数是大于 0 就是凸函数,
f’'(x)>0
拿 X 的平方举例子，它的二阶导数是 2，大于 0 所以是凸函数。
f’(x)=0
称之为驻点，驻点是函数增减性的交替点，一侧增一侧减或一侧减一侧增
f’'(x)=0
称之为拐点，拐点是凹凸性的，一侧凹一侧凸或一侧凸一侧凹 拿 X 的三次方举例子，一阶导是 3X 的平方，二阶导是 6X，这样当 X 小于 0 就是凹函数， X 大于 0 就是凸函数。

一元函数泰勒展开

泰勒展开中取几阶导数，就截止到那个阶数的项。例如，如果我们取到一阶导数，那么泰勒展开就截止到一阶项；如果取到二阶导数，那么泰勒展开就截止到二阶项，依此类推。
通常情况下，我们会根据实际需要和计算复杂度来确定截止阶数。取更高阶的导数可以增加逼近的精度，但也会增加计算的复杂度，因为每增加一阶导数，就会多出一项需要计算。所以在实际应用中，我们会根据需要平衡精度和计算复杂度，选择合适的截止阶数。

x0在泰勒展开中是一个常数，表示我们希望在哪个点附近进行多项式逼近。在展开的过程中，x0保持不变，而我们将原函数在x0附近展开成多项式。不同的x0值会得到不同的多项式逼近结果，适用于不同的情况。

拓展：

• 阶数越高， 逼近误差越小
• 阶数越高， 逼近范围越大
  不足之处：
• 误差项无法具体估计
• 领域的范围究竟如何确定