分析2 实数系的连续性、完备性和拓扑性质

实数系的连续性、完备性和拓扑性质

• 确界存在定理：非空有上界数集必有上确界、非空有下界数集必有下确界。

• 单调有界数列收敛定理。

• 闭区间套定理。

• 有界数列必有收敛子列。

• Cauchy收敛原理。

• 拓扑性质：开集、闭集、闭包、内点、边界点、极限点(聚点)、孤立点、完美集、稠密集。

• 紧集：任意开覆盖有有限子覆盖。Heine-Borel定理：紧集是有界闭集。

• 紧集的闭子集是紧的。

• 紧集套一定非空。

• 紧集的无穷子集必有极限点

• 

• 如果一个度量空间有可数的稠密子集，那么它是 可分的(separable)。

• 度量空间一定是拓扑空间(所有的开集构成了所谓的拓扑)、拓扑空间一定是可测空间(开集可以诱导出Borel代数)。

• 可分的度量空间具有可数的基(base)。(度量空间中每一个开集都是一组可数个开集组成集合的子集的并)

• 紧度量空间是可分的。