考研数学线上笔记（八）：凯哥方程组、特征值与特征向量、相似矩阵、二次型系列课程

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特征值与特征向量
- 逆用矩阵乘法和相似求特征值
- 秩为1的矩阵，特征值为n-1个0和一个tr(A)（主对角线之和）
- 每行元素之和相同，特征值为该和；特征值也满足f(A)=0
- 迹是对角线之和，也是特征值之和；f(A)=0求出的是所有特征值的取值，但不是所有特征值
- 特征值相乘为行列式的值
- 伴随的迹是对角线位置的代数余子式之和
- 特征值：A^*^=|A|/λ
- 特征值对应一个特征向量；但特征值和特征向量之间没有倍数关系；
- 特征多项式一定是化零多项式
相似矩阵与相似对角化
- P^-1^AP=B，代表A与B相似
- 与对角阵相似的矩阵一定能够相似对角化，且特征值相同
- 两个矩阵相似，迹、行列式的值、特征值都必须相等；还是无法判断时，用r(A-λE)（必要条件）来做排除法
- 相似对角化的矩阵特征值相同
- 当A为秩一矩阵是，A能相似对角化与A的迹不为0等价
- 秩一矩阵可以分解成一列乘以一行，换个位置变成一行乘以一列算出的数就是该矩阵的迹
- 根据相似定义，利用对角阵计算
- 无解和无穷多解的区别：无解要求右边不为0，无穷多解要求右边为0
实对称矩阵
- 实对称矩阵的转置等于本身；实反对称矩阵的矩阵是其本身的相反数；实对称矩阵一定可以用正交矩阵进行相似对角化，即Q^-1^AQ=E
- 特征值完全相同 <--> 两个实对称矩阵相似；==内含实对称矩阵计算特征值的方法==
- 实对称矩阵一定相似对角化 --> 非零特征值个数恰好是r(A)
- (B^T^)^-1^= (B^-1^)^T^
特征值和特征向量大题
- 列向量组线性相关，必有|A|=0，一个特征值为0；逆用矩阵乘法后系数往往就是解
- 正交矩阵公式的运用
- 利用相似转化研究对象，注意别忘了AQ=QB转化的那一步；Q^-1^AQ=B代入M^-1^BM=∧，才能得出所求可逆矩阵P为QM
- 利用相似转化研究对象，能将未知的矩阵转化为已知矩阵求特征值
- 相似迹相同、行列式相同、特征是相同；求可逆矩阵使相似，一般求出各自的可逆矩阵P~1~、P~2~，联立即可
- 实对称矩阵一定相似对角化，所以非零特征值的个数等于秩，非满秩则必有特征值0，特征向量之间必正交
- 细节：同一特征值有两线性无关的特征向量才能推出是二重特征值；各行元素之和均为3，特征值有3；有特征值和对应的特征向量，反求实对称矩阵A时可以直接用上题解法
- A^n^=P∧^n^P^-1^，通过相似对角化转化为对角矩阵的n次方；非实对称矩阵不能用上面的方法，必须求逆
- 利用待定系数法求特征值和特征向量；正交矩阵Q的Q^T^就是Q^-1^，即Q^T^AQ=∧，就是Q^-1^AQ=∧；实对称矩阵取自不同特征值（数值不同）的特征向量必然正交，属于同一个特征值的无关的特征向量不一定正交
- 属于同一个特征值的特征向量相加，仍是特征向量；属于不同特征值的特征向量相加，不是特征向量
- 单特征值对应的特征向量是个直线，双特征值对应的特征向量是整个平面；三个互不相同的特征值，只知道一个向量时，不能直接用正交求其他两个特征向量（右下角的情况）
二次型的标准化与正定二次型
- 正（负）惯性指数即特征值为正（负）的个数；通过|A-λE|=0求出特征值的取值
- 具体矩阵的正定矩阵判别：顺序主子式（最左上角的1到n阶）都大于0，可以推出是正定矩阵；正定矩阵必是实对称矩阵，特征值全为正
- 标准型的系数就是特征值；特征向量乘个k，不会改变特征值
- 为防止出已配好的二次型不能可逆变换，应采取拆开的方法避免出错
等价、相似、合同的区别
- 相似必等价，合同也必等价，但反之不对；相似与合同没有必然关系，合同：正负惯性指数相同+同对称或同不对称，相似：特征值与特征向量对应相同
- 当AB都是实对称矩阵时，AB相似能推出AB合同；但合同矩阵不要求一定实对称，但要求同对称性
- 正负惯性指数对应相等，俩矩阵合同；从行列式的正负可以看特征值的正负
- 无特殊技巧时，计算特征值，特征值完全相等即相似（迹不一样就不相似），正负惯性指数对应相等时合同
- 实对称矩阵条件下，相似必合同，正负惯性指数相同
- 一个二次型转化为另一个二次型，二者合同
二次型大题
- 正交变换因Q^T^=Q^-1^，隐含AB相似，故迹相同，行列式相同
- 可逆变换求参数时，无上题的性质，只能通过正负惯性指数