线代【解方程组】--猴博士爱讲课

第六课 解方程组

1/6判断方程组解的情况

判断方程组的解的情况：

齐次唯一解例题：

非齐次无解例题：

非齐次有解例题：

2/6解方程组

解方程组：共有五步

①求增广矩阵的秩：

②变换矩阵：

R=3，就变换前三行，前三列，为单位矩阵的形式

③ 根据②得到的矩阵变回方程组：

④设未知数：

⑤整理成标准型，再用刚刚设的未知数替代题目原来的未知数：

这里④中我们只设置了一个未知数K，则在⑤中为用k替代X4

下面就是本题的解，k可取任意值：

例题(非齐次)

这里④中我们设置了三个未知数K1、K2、K3，则在⑤中为用K1替代X5、K2替代X4、K3替代X3

例题(齐次)

如果是齐次方程组呢？
常数项都抹掉就完了、

3/6 求方程组的通解、特解、基础解系

求方程组的通解、特解。基础解系：
要先解出方程组的解。
通解，含有所有的未知数，能代表所有情况的解

①求方程组的通解

②求方程组的特解

特解就是**一组x1–xn的值**，代入原方程，可以满足：
也就是未知数随便取值：这是一个特解

一般都令所有未知数=0,这样可以简化计算量

③求方程组的基础解系

4/6 已知某方程组多个特解，求某齐次方程组的通解

解题步骤共三步：

①设未知数：

结果为：
$$设有未知数k_1、k_2$$

②找出n个线性无关的矩阵X₁，X₂，…X_n，使其替代x，满足要求通解的式子

③求通解

5/6 已知某方程组多个特解，求某非齐次方程组的通解

非齐次方程组的通解=对应齐次方程组的通解（①②③）+非齐次方程组的特解（④）

解题步骤共四步：

①设未知数：

结果为：
$$设有未知数k_1、k_2$$

②找出n个线性无关的矩阵X₁，X₂，…X_n，使其替代x，满足去掉参数项后的要求通解的式子

③找出一个矩阵Y，使其满足要求通解的式子

④求通解

6/6 判断解集合中线性无关的解向量的个数

直接背公式：

①齐次

②非齐次