线代本质/矩阵左乘右乘的数学意义

对矩阵A而言，
BxA（左乘）是对A进行行变换
AxB（右乘）是对A 进行列变换
如图

这里再讲一下A*v的几何意义;
$A=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 2\end{array}\right]$, $v=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$

$Av=\left[\begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\right]$
这个在几何上怎么理解呢？

在上面部分我们知道，这个操作就是对A的列进行操作，取1份[1;1]，一份[-1;2]，相加得到[0,3]
那实际上也就是以A的列向量[1;1] [-1;2]分别为x\y轴构建新的坐标系，新坐标系下的[1,1]，在原来的[1,0] [0,1]坐标系下表现为[0,3]
也就是Ev=v，是以E（[1,0] [0,1]）轴为基，v为坐标；
而因为Av=EAv，所以该表达是先以A（[1,1] [-1,1]）轴为基，v为该坐标系下的坐标；再放到E坐标系下，发现是[0,3]

或者更直接的这么理解：变换后x跑到[1;1] ，y跑到 [-1;2]了，由于线性变换是等距平行四边形模样，且原点不动，所以借助变换后的xy定位变换后的vector的位置：x[1;-1]+y[-1;1]

注意到这里原点不变，不然就不是线性变换，而是仿射变换。变换是线性的定义是满足（1）Add: L（vector1+vector2）=L(vector1)+L(vector2) （2）Scale: L（c vector)=c L(vector) 所以原点是固定的

白色部分是E坐标（锚），绿色、红色部分是新坐标系；取x绿， y红，相加，新坐标系中的[x,y]表现为E坐标系中的x绿+y红色。

所以A的两个列就是一个很好的记录，比如我们要旋转一个向量（x,y），假设E坐标系中的（0，1） （1，0）旋转后是A的第一二列，那么Ax就是旋转后的向量了

而det(A)，就是旋转/伸缩(线性变换)后 绿，红线围成的平行四边形的面积。
假设A不满秩，也就是两条新坐标轴将共线，面积为0，det(A)=0。
当det(A)<0,说明是坐标轴翻转了（oriented?），即翻了个面，本来y轴在x轴左边的，现在跑到右边去了。

对于三维空间，det(A)是体积，表示变换后的x,y，z轴围成的cube的体积。那么原本在三维空间中的某个物体，变换后体积也相应变大为det(A)倍数。当A不满秩序，也就是有两/三条变换后的轴共线了，cube压成了平面/直线，平面/直线的体积==0， det(A)=0。当det(A)<0,就是翻转了，右手法则（右手拇指Z，食指x，中指y）变成了左手法则（右手拇指Z，食指x，中指y），本来y轴在x轴左边的，现在跑到右边去了。

det(AB)=det(A)det(B)：因为AB是复合变换；先变换B，单位cube面积变化为det(B)倍；然后变换A，在上一部的基础上再变化为det(A)倍，也就是最终det(A)*det(B)倍。==》 det(A)det(B) == det(A) * det(B)

A的特征向量，对应则在这个旋转伸缩过程中不会旋转只伸缩的向量（旋转轴），对应的特征值，是指这个旋转轴方向上的伸缩量，只伸缩，不旋转。$Av=\lambda v$

所以为什么一个N重特征值${\lambda }_1$对应着N个不同的特征向量（旋转轴）呢？这里其实是因果倒置了，逻辑是：我有N个旋转轴，不会跟着变换旋转，而只是伸缩；它们的伸缩量刚好都是是${\lambda }_1$；

是这样的：方阵特征值对应的基础解系包含的向量个数不大于特征根的重数。比如说一个二重特征根它对应的特征向量基础解系的个数可能为2也可能为1。有的课本把特征根的重数叫做特征值的代数重数，把特征值对应特征向量的基础解系个数叫做特征值的几何重数，于是刚才所描述的原理也可以这么叙述：方阵特征根的几何重数不大于代数重数。那么题主可能要问，特征根几何重数等于代数重数的方阵，和特征根几何重数小于代数重数的方阵有什么区别呢？区别在于，如果一个方阵的所有特征根的几何重数均等于其代数重数，那么这个方阵是可以相似对角化的，如果这个方阵中只要有一个（或以上）的特征值的几何重数小于其代数重数，那么这个方阵就是无法相似对角化的。

再一个，我们知道实对称矩阵的特征向量都是正交的；那么普通矩阵，一个${\lambda }_1$对应的多个特征向量，我们通常都将它们单位正交化；那为什么单位正交化后，还是这个特征向量/值呢？ 因为从公式上来讲，特征向量的线性组合还是特征向量$A(v_1+v2)=A{v}_1+A{v}_2={\lambda }_1{v}_1+{\lambda }_1{v}_2={\lambda }_1(v_1+v_2)$，即$v_1+v_2$仍然是特征向量，特征值即伸缩因子仍然是${\lambda }_1$。但是几何上怎么理解？??:

λx=Ax表示特征向量相当于沿此方向进行特征值倍数的放缩，如果一个特征值有两个线性无关的特征向量，说明在两个方向上均匀缩放，那么用这两个线性无关特征向量作为基表示整个平面，平面上处处都是均匀缩放

当A为旋转变换时，没有任何一条线是原地不动只伸缩的
因此，特征值没有实数解
也就是说，求出来特征值是虚数or复数的，对应着某种旋转

投影和特征向量

另外，对称矩阵必可以对角化（特征分解），有什么好处呢？
我们知道 （源自泛函分析绪论r）

也就是上面讲的，

“A的特征向量，对应则在这个旋转伸缩过程中不会旋转的向量（旋转轴），对应的特征值，是指这个旋转轴方向上的伸缩量，只伸缩，不旋转。”

因此

解方程Ax=y，x是待求解向量；就是求在变换A下，哪个x会变成变换后的y。

当A不满秩，也就是有的变换后的轴共线了，整个平面被变换为一条先/面，总之被压缩了，做不到一一映射了，也就找不到唯一的那个x； 逆变换也就不存在，也就是A不可逆。当然，当x本身就在压缩后的线上，那就能找到。

$A^{-1}Ax=x$，因为$A^{-1}A=E$,$Ex=x$，也就是两条轴没变换，自然x或空间内的其他向量也没变换。

det(A)!=0，没坍缩，满秩。

秩：变换后的空间的维数，那就是看A的列向量张成的空间的维数

Null Space 零空间/Kernel 核：变换后落在原点的向量的集合！（二维里有一条线上的点（向量）落在原点，三维里有一个面落在原点）

Ax=0即可求解

非方阵
（1）低维到高维
$A=\left[\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& 5\\ 3& 6\end{array}\right]$,
输入空间为2维
$v=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$

$Av=\left[\begin{array}{c}5\\ 7\\ 9\end{array}\right]$,
可以看到，A把2维的v变换到3维空间中了。
原本2维空间中的x轴 $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$，被变换到了三维空间中的 $\hat{x}=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]$;
原本2维空间中的y轴 $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$，被变换到了三维空间中的 $\hat{x}=\left[\begin{array}{c}4\\ 5\\ 6\end{array}\right]$
对应的原本2维空间中的v，被变换到了三维空间中的$Av=\left[\begin{array}{c}5\\ 7\\ 9\end{array}\right]$

A:3*2，将2维变换到3维空间
（但是原本2维空间被限制在3维空间的一个面中！有变换后的$\hat{x}\hat{y}$张成的一个三维空间中的一个面）

这里A仍然是二维意义上的满秩的

（2）高维到低维
如A：23
$A=\left[\begin{array}{ccc}3& 1& 4\\ 1& 5& 9\end{array}\right]$,
三维空间中的$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]$变换到了二维中的$\left[\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right]$，
$\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]$变换到了二维中的$\left[\begin{array}{c}1\\ 5\end{array}\right]$，
$\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$变换到了二维中的$\left[\begin{array}{c}4\\ 9\end{array}\right]$


(3) A: 21 二维变换到1维
如A：2*3
$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right]$,
2维空间中的$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$变换到了1维中的$\left[\begin{array}{c}1\end{array}\right]$，
$\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$变换到了1维中的$\left[\begin{array}{c}2\end{array}\right]$，

这个变换与点积（dot product）紧密相关

扩展空间的概念，函数在作为空间中的向量/元素——函数空间
满足下列定理的空间，就可以利用线性代数所学的这套理论来套

线性变换——算子（函数空间到函数空间，比如对x变上限积分、对$x^2$求导后仍然是函数）
特征向量——特征函数

多项式空间比较容易类比向量空间( $1,x,x^2,\cdots ,x^n,\cdots$为基/轴，无穷个 )

傅里叶变换也是，$e^{jkwt}$为基（轴），$s(t)$在各轴上的坐标就是$s(t)$在各个轴上的投影——内积（因为$e^{jkwt}$模长1不用除掉）——也就是$\int s(t)e^{jkwt}dt$
（线代的内积是离散内积，相乘再相加；到了连续变量上，相加就是积分了）
所以所谓“检波”，其实也就是在求内积，也就是求投影（$|a||b|cos\theta =|a|cos\theta$）

正交变换后，