(转)图算法单源最短路径Dijkstra算法（邻接表/邻接矩阵+优先队列STL)

一、前言

　　最短路径算法，顾名思义就是求解某点到某点的最短的距离、消耗、费用等等，有各种各样的描述，在地图上看，可以说是图上一个地点到达另外一个地点的最短的距离。比方说，我们把地图上的每一个城市想象成一个点，从一个城市到另一个城市的花费是不一样的。现在我们要从上海去往北京，需要考虑的是找到一条路线，使得从上海到北京的花费最小。有人可能首先会想到，飞机直达啊，这当然是时间消耗最小的方法，但是考虑到费用的高昂，这条线路甚至还不如上海到北京的高铁可取。更有甚者，假设国家开通了从上海到西藏，再从西藏到兰州等等城市经过万般周折最后到达北京的一条线路，虽然要需要经历较长一段时间，但是价钱相比前二者非常实惠（假设只要一块钱，便能跑大半个中国，领略多省风光），单从省钱的角度看来，自然最后这条是可取的。这就是我们在这里所说的单源最短路径。我们接下来的篇幅中将去讲解所有边权值为非负的有向图的单源最短路径，由于无向图相当于变相的有向图，在这里就不做解释，留作读者自行推广。

二、概念

　　这里我们讲解最短路径，需要掌握几个基本的概念：

　　对于有向图G=（V，E)，权值函数W: E→R（即每条边的权值都为一个实数）

　　1、路径

　　　　表示从v1到vk的一条路径，它的权值为：

　　　　例：

　　2、最短路径：从u到v的一条路径，使w(p)最小，w(p)。

　　3、最短路径权值：

　　注意，最短路径可能不存在：

　　　　（1）存在负权回路，例如：

　　　　　　可以看出，存在v1到v6的负权回路，它的权值为-3，如果我们想找从u到v的最短路径，那么无限循环地走这个负权回路可以使最短路径越来越小，最后达到负无穷，　　　　 那么就说明找不到从u到v的最短路径。

　　　　（2）不存在从u到v的路径，这个是肯定不会存在最短路径的。

三、最优子结构

　　我们不难发现，求解源点到某一顶点的最短路径，其实不比求解源点到所有顶点的路径简单。这个时候我们要引入全局的概念，能不能找出所有的顶点的最短路径，然后再去查看到目标点的最短路径呢？很多人就会想到动态规划这一思想，说道动态规划，自然我们首先要考虑的问题是最优子结构。

　　最短路径满足最优子结构性质：最短路径的子路径是最短路径。

　　证明：（剪贴法）

　　　　前提：u到v是最短路径。

　　　　假设：x到y不是最短路径，那么存在一条更短的路径从x到y（假设为下面的弯箭头），这样，删去原路径中从x到y的路径，用新找到的路径替代（弯箭头），那么就得到　　　　　　　了一条比u到v的权值更短的路径，这与前提u到v是最短路径相矛盾，因而x到y是最短路径，即最短路径满足最优子结构性质。

　　引入三角不等式的概念：（从u到v的最短路径权值，小于等于从u到x的最短路径权值加上从x到v的最短路径权值）

　　　　这个性质根据最优子结构性质而来，非常重要。

四、单元最短路径问题

　　对于图G= （V, E），给定源点s，找到从s到所有顶点v的最短路径。