第四章 梯度下降反向传播

本文主要是介绍第四章 梯度下降反向传播，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

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第一章 深度学习和神经网络

第二章 Pytorch安装

第三章 PyTorch的使用

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什么是梯度下降？

梯度是一个向量，学习的前进方向（变化最快的方向），简单理解就是一个导数，只不过这个导数对于二维的、一元的情况来讲它就是导数，对于多元的这样一个函数来讲的话，我们对其中一个自变量x进行求导之后，我们把它称之为偏导导数和偏导梯度的一部分，除了这个数值之外呢它还有一个方向在里面。

回顾机器学习

收集数据$x$ ，构建机器学习模型$f$，得到$f(x,w)=Y_{predict}$

判断模型好坏的方法：
$$\begin{array}{rlr}loss& =(Y_{predict}-Y_{true}{)}^2& (回归损失)\\ loss& =Y_{true}\cdot log(Y_{predict})& (分类损失)\end{array}$$

目标：通过调整(学习)参数$w$，尽可能的降低$loss$，那么我们该如何调整$w$呢？

随机选择一个起始点$w_0$,通过调整$w_0$，让loss函数（损失函数）取到最小值

$w$的更新方法：

1. 计算$w$的梯度（导数）

$$\nabla w=\frac{f(w+0.000001)-f(w-0.000001)}{2\ast 0.000001}$$

2. 更新$w$
   $$w=w-\alpha \nabla w$$

其中：

$\nabla w<0$ ,意味着w将增大
$\nabla w>0$ ,意味着w将减小

总结：梯度就是多元函数参数的变化趋势（参数学习的方向），只有一个自变量时称为导数

偏导的计算

已知$J(a,b,c)=3(a+bc),令u=a+v,v=bc$,求a，b，c各自的偏导数。

公式

$$\begin{array}{rl}令:& J(a,b,c)=3u\\ \frac{dJ}{da}& =\frac{dJ}{du}\times \frac{du}{da}=3\times 1\\ \frac{dJ}{db}& =\frac{dJ}{du}\times \frac{du}{dv}\times \frac{dv}{db}=3\times 1\times c\\ \frac{dJ}{dc}& =\frac{dJ}{du}\times \frac{du}{dv}\times \frac{dv}{dc}=3\times 1\times b\end{array}$$

反向传播算法

计算图和反向传播

计算图：通过图的方式来描述函数的图形

在上面的练习中，$J(a,b,c)=3(a+bc),令u=a+v,v=bc$,把它绘制成计算图可以表示为：

绘制成为计算图之后，可以清楚的看到向前计算的过程

之后，对每个节点求偏导可有：

那么反向传播的过程就是一个上图的从右往左的过程，自变量$a,b,c$各自的偏导就是连线上的梯度的乘积：
$$\begin{array}{rl}\frac{dJ}{da}& =3\times 1\\ \frac{dJ}{db}& =3\times 1\times c\\ \frac{dJ}{dc}& =3\times 1\times b\end{array}$$

神经网络中的反向传播

神经网络的示意图

$w1,w2,....wn$表示网络第n层权重

$w_n[i,j]$表示第n层第i个神经元，连接到第n+1层第j个神经元的权重。

神经网络的计算图

其中：

1. $\nabla out$是根据损失函数对预测值进行求导得到的结果
2. f函数可以理解为激活函数

为了我们能够快速的计算出从out，假设我们已经有了这样一个损失函数f之后，为了这个损失函数，这个out就是我们损失函数的某一次传入一个数据之后的一个结果，这个结果我妈想通过它这个函数求出来这个$w_1[1,1]$ 它的这个梯度，那这个时候呢我妈可以跟之前一样，我们可以把这条线上面的所有的梯度都给它计算出来，计算出来之后连线相乘就够了。

问题： 那么此时$w_1[1,2]$的偏导该如何求解呢？

通过观察，发现从$out$ 到$w_1[1,2]$的来连接线有两条

结果如下：
$$\frac{dout}{d{W}_1[1,2]}=x1\ast f^{{}^{\prime }}(a2)\ast (W_2[2,1]\ast f^{{}^{\prime }}(b1)\ast W_3[1,1]\ast \nabla out+W_2[2,2]\ast f^{{}^{\prime }}(b2)\ast W_3[2,1]\ast \nabla out)$$
公式分为两部分：

1. 括号外：左边红线部分
2. 括号内
   1. 加号左边：右边红线部分
   2. 加号右边：蓝线部分

但是这样做，当模型很大的时候，计算量非常大

所以反向传播的思想就是对其中的某一个参数单独求梯度（一层一层计算），之后更新，如下图所示：

计算过程如下

$$\begin{array}{rlr}{W}_3[1,1]的偏导：& \nabla W_3[1,1]=f(b_1)\ast \nabla out& （计算W_3[1,1]梯度）\\ & \nabla W_3[2,1]=f(b_2)\ast \nabla out& （计算W_3[2,1]梯度）\\ & & \\ & \nabla b_1=f^{{}^{\prime }}(b_1)\ast W_3[1,1]\ast \nabla out& （计算W_3[2,1]梯度）\\ & \nabla b_2=f^{{}^{\prime }}(b_2)\ast W_3[2,1]\ast \nabla out& （计算W_3[2,1]梯度）\end{array}$$

更新参数之后，继续反向传播

计算过程如下：
$$\begin{array}{rl}& \nabla W_2[1,2]=f(a_1)\ast \nabla b_2\\ & \nabla a_2=f^{{}^{\prime }}(a_2)\ast (w_2[2,1]\nabla b_1+W_2[2,2]\nabla b_2)\end{array}$$
继续反向传播

它是一层一层往后计算的,它不会从根就开始一样一次性全部都算出来, 一次性算会有很多很多计算你要保存在一个位置,保存很多变量去保存, 你这个时候你要占用很多内存空间, 去保存那些不停的一串的加一串的乘, 或者说有很多很多串加上乘都要保存下来, 这样的话你需要占用额外的很多的空间,但是你这样一层一层算的时候,你就不需要这样很多的空间, 你只是当前这次的这些变量更新完就完事, 把这一层的结果才能拿到下一层去,最后进行计算。

计算过程如下：
$$\begin{array}{rl}& ▽W_1[1,2]=x_1\ast ▽a_2\\ & ▽x_1=(W_1[1,1]\ast ▽a_1+w_1[1,2]\ast ▽a_2)\ast x_1’\end{array}$$

通用的描述如下
$$\begin{gathered} \nabla w_{i,j}^l=f(a_i^l)\ast \nabla a_j^{i+1} \\ \nabla a_i^l=f^{\prime }(a_i^l)\ast (\sum _{j=1}^m{w}_{i,j}\ast \nabla a_j^{l+1}) \end{gathered}$$

这篇关于第四章 梯度下降反向传播的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

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