AI学习指南深度学习篇-带动量的随机梯度下降法的基本原理

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AI学习指南深度学习篇——带动量的随机梯度下降法的基本原理

引言

在深度学习中，优化算法被广泛应用于训练神经网络模型。随机梯度下降法（SGD）是最常用的优化算法之一，但单独使用SGD在收敛速度和稳定性方面存在一些问题。为了应对这些挑战，动量法应运而生。本文将详细介绍动量法的原理，包括动量的概念、指数加权移动平均、参数更新等内容，最后通过实际示例展示动量如何帮助SGD在参数更新过程中平稳地前进。

什么是动量？

动量最初是物理学中的一个概念，用于描述物体的运动。动量法在优化算法中引入了一个“动量”项，帮助在优化过程中加速以及平滑更新。动量可以看作是对过去梯度的“回忆”，这种技术使得优化算法能够在一定程度上克服SGD固有的震荡，并在某些方向上加速前进。

动量的基本想法

动量法利用了梯度的历史信息，通常通过对过去几次梯度更新的加权求和，来决定当前参数的更新方向。具体来说，当模型在某一方向上的梯度变化较小，而在另一个方向上的梯度变化较大时，动量法能够加快在有效方向上的更新，从而提高收敛速度。

在动量更新中，我们维护一个动量变量 (v)，它根据历史梯度逐步更新。动量变量对当前梯度的影响越来越大，而对较久以前的梯度影响逐渐减小。

指数加权移动平均

动量法的核心在于指数加权移动平均（Exponential Moving Average，EMA）。通过对过去的梯度施加一个衰减因子，EMA 使得新的梯度对更新的影响更大，而较旧的梯度的影响逐渐减小。

公式表示

假设我们在第 (t) 次迭代中计算得到的梯度为 (g_t)，动量变量 (v_t) 的更新公式为：
$v_t = \beta v_{t-1} + (1 - \beta) g_t ]$
其中， $(\beta)$ 是动量系数，通常设置为接近于1（例如，0.9 或 0.99）。这样，动量变量 $v_t)$ 会逐渐地保留历史梯度信息，同时抑制噪声带来的干扰。参数的更新则通过以下公式完成：
$\theta_t = \theta_{t-1} - \alpha v_t ]$

这里， $(\alpha)$ 是学习率。

动量在参数更新中的作用

在采用动量法后，参数更新的路径会更加平滑和稳定。具体来说，动量带来的优势主要体现在以下几个方面：

加速收敛：在深度的损失曲面中，有些方向会出现较大的梯度，而另一些方向的梯度可能会相对较小。动量方法通过对历史梯度的重置，能够在大的梯度方向上加速更新。
减小震荡：SGD 的震荡通常会导致模型难以在局部最优点附近平稳地收敛。动量法通过平滑的优化路径减少这种震荡，使得更新方向更加稳定。
逃离局部最优：通过保持较高的动量，有时候模型将能够逃离局部最优点，因为动量会推动参数在一定方向上继续移动。

实际示例

为了更好地理解和运用带动量的随机梯度下降法，我们将展示一个实际示例。假设我们要训练一个简单的线性回归模型，损失函数为均方误差（MSE）。

1. 线性回归模型

模型的预测公式为：
$\hat{y} = wx + b ]$
其中， $(w)$ 是权重， $(b)$ 是偏差。损失函数定义为：
$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)^2 ]$

2. 梯度计算

对于每个参数 (w) 和 (b)，我们需要计算它们的梯度：
$\frac{\partial L}{\partial w} = -\frac{2}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i) \cdot x_i ]$
$\frac{\partial L}{\partial b} = -\frac{2}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i) ]$

3. 动量更新

在训练过程中，我们将使用动量方法更新权重和偏差。以下是代码示例（以 Python 和 NumPy 为例）：

import numpy as np# 超参数
alpha = 0.01  # 学习率
beta = 0.9    # 动量系数
num_epochs = 1000  # 训练轮次# 模型参数
w = np.random.randn()  # 权重初始化
b = np.random.randn()  # 偏差初始化# 动量变量初始化
v_w = 0
v_b = 0# 训练数据（示例）
X = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
y = np.array([2, 3, 5, 7, 11])# 训练过程
for epoch in range(num_epochs):# 计算预测值y_pred = w * X + b# 计算损失loss = np.mean((y - y_pred) ** 2)# 计算梯度grad_w = -2 * np.mean((y - y_pred) * X)grad_b = -2 * np.mean(y - y_pred)# 更新动量v_w = beta * v_w + (1 - beta) * grad_wv_b = beta * v_b + (1 - beta) * grad_b# 更新参数w -= alpha * v_wb -= alpha * v_bif epoch % 100 == 0:print(f"Epoch {epoch}, Loss: {loss}, w: {w}, b: {b}")print(f"Final parameters: w: {w}, b: {b}")