四种信号在时域和频域之间的对应关系（连续周期/非周期、离散周期/非周期）（拉普拉斯、Z变换）

本文主要是介绍四种信号在时域和频域之间的对应关系（连续周期/非周期、离散周期/非周期）（拉普拉斯、Z变换），希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

1. 连续周期时间信号

• 时域：连续周期时间信号可以理解为一种在时间上重复的波形，比如正弦波或余弦波。
• 频域：在频域中，这种信号可以分解为一系列不同频率的正弦波的叠加。每个正弦波对应一个频率和一个复数系数 (C_n)，这些系数告诉我们各个频率成分的强度和相位。

公式解释：

• $$\tilde{x}(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{C}_n\cdot e^{jn{\omega }_{0}t}$$ 这表示信号 (\tilde{x}(t)) 可以看作是无穷多个频率为 (n\omega_0) 的正弦波的叠加。
• $$C_n=\frac{1}{T_0}{\int }_0^{T_0}\tilde{x}(t)e^{-jn{\omega }_{0}t}dt$$ 这个公式用于计算每个频率成分的系数 (C_n)。

2. 连续非周期时间信号

• 时域：这种信号在时间上是不重复的，比如单次脉冲或非重复的波形。
• 频域：在频域中，这种信号可以用一个连续的频率范围来表示，每个频率对应一个复数值 (X(j\omega))，表示该频率成分的强度和相位。

公式解释：

• $$x(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }X(j\omega )e^{j\omega t}d\omega$$ 这个公式表示信号 (x(t)) 可以通过所有频率成分的正弦波的叠加来表示。
• $$X(j\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-j\omega t}dt$$ 这个公式用于计算信号 (x(t)) 在频域中的表示 (X(j\omega))。

3. 离散周期时间信号

• 时域：这种信号是离散的且周期性的，比如离散的正弦波。
• 频域：在频域中，这种信号可以分解为一系列不同频率的离散频率成分，每个成分对应一个复数值 (\tilde{X}[m])。

公式解释：

• $$\tilde{x}[k]=\frac{1}{N}\sum _{m=0}^{N-1}\tilde{X}[m]e^{j{\Omega }_{m}k}$$ 这个公式表示离散信号 (\tilde{x}[k]) 可以通过 (N) 个不同频率的正弦波的叠加来表示。
• $$\tilde{X}[m]=\sum _{k=0}^{N-1}\tilde{x}[k]e^{-j\frac{2\pi }{N}mk}$$ 这个公式用于计算每个频率成分的值 (\tilde{X}[m])。

4. 离散非周期时间信号

• 时域：这种信号是离散的且不重复的，比如一串离散的脉冲。
• 频域：在频域中，这种信号可以表示为一个连续的频率范围内的离散频率成分。

公式解释：

• $$x[k]=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }X(e^{j\Omega })e^{j\Omega k}d\Omega$$ 这个公式表示离散信号 (x[k]) 可以通过所有频率成分的正弦波的叠加来表示。
• $$X(e^{j\Omega })=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]e^{-j\Omega k}$$ 这个公式用于计算信号 (x[k]) 在频域中的表示 (X(e^{j\Omega}))。

变换工具：拉普拉斯变换和Z变换

拉普拉斯变换

用于分析连续时间信号，通过将信号从时域转换到频域来简化分析和计算。

• $$X(s)={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-st}dt$$ 计算信号 (x(t)) 的拉普拉斯变换 (X(s))。
• $$x(t)=\frac{1}{2\pi j}{\int }_{\sigma -j\infty }^{\sigma +j\infty }X(s)e^{st}ds$$ 计算 (X(s)) 的逆变换得到时域信号 (x(t))。

Z变换

用于分析离散时间信号，通过将信号从时域转换到频域来简化分析和计算。

• $$X(z)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]z^{-k}$$ 计算信号 (x[k]) 的Z变换 (X(z))。
• $$x[k]=\frac{1}{2\pi j}{\int }_{C}X(z)z^{k-1}dz$$ 计算 (X(z)) 的逆变换得到时域信号 (x[k])。

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