本文主要是介绍用 微 / 积分思想妙解关于等比数列的和，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
同理，也是微积分思想：
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求 (\sum_{k=1}^n q^k) 的和：
我们知道几何级数的求和公式：
∑ k = 0 n q k = 1 − q n + 1 1 − q (对于 q ≠ 1 ) \sum_{k=0}^n q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \quad \text{(对于 } q \neq 1\text{)} k=0∑nqk=1−q1−qn+1(对于 q=1)
那么，(\sum_{k=1}^n q^k) 就是：
∑ k = 1 n q k = q − q n + 1 1 − q \sum_{k=1}^n q^k = \frac{q - q^{n+1}}{1-q} k=1∑nqk=1−qq−qn+1 -
求导数：
现在考虑函数 (S(q) = \sum_{k=1}^n q^k)，即：
S ( q ) = q − q n + 1 1 − q S(q) = \frac{q - q^{n+1}}{1-q} S(q)=1−qq−qn+1
为了求 (\sum_{k=1}^n k q^{k-1}) 的和，我们可以对 (S(q)) 进行求导。 -
对 (S(q)) 进行变换：
考虑函数 (T(q) = \sum_{k=1}^n k q^{k-1})，这是 (\sum_{k=1}^n q^k) 对 (q) 的导数：
T ( q ) = d d q ( ∑ k = 1 n q k ) = d d q ( q − q n + 1 1 − q ) T(q) = \frac{d}{dq} \left( \sum_{k=1}^n q^k \right) = \frac{d}{dq} \left( \frac{q - q^{n+1}}{1-q} \right) T(q)=dqd(k=1∑nqk)=dqd(1−qq−qn+1) -
对 (S(q)) 求导：
d d q ( q − q n + 1 1 − q ) \frac{d}{dq} \left( \frac{q - q^{n+1}}{1-q} \right) dqd(1−qq−qn+1)
使用商的导数法则，设 (u = q - q^{n+1}) 和 (v = 1-q)，那么：
T ( q ) = ( u ′ v − u v ′ ) v 2 T(q) = \frac{(u'v - uv')}{v^2} T(q)=v2(u′v−uv′)
计算各部分的导数：
u ′ = 1 − ( n + 1 ) q n u' = 1 - (n+1)q^n u′=1−(n+1)qn
v ′ = − 1 v' = -1 v′=−1
代入商的导数法则：
T ( q ) = ( 1 − ( n + 1 ) q n ) ( 1 − q ) − ( q − q n + 1 ) ( − 1 ) ( 1 − q ) 2 T(q) = \frac{(1 - (n+1)q^n)(1-q) - (q - q^{n+1})(-1)}{(1-q)^2} T(q)=(1−q)2(1−(n+1)qn)(1−q)−(q−qn+1)(−1)
简化得到：
T ( q ) = ( 1 − ( n + 1 ) q n − q + ( n + 1 ) q n + 1 ) + q − q n + 1 ( 1 − q ) 2 T(q) = \frac{(1 - (n+1)q^n - q + (n+1)q^{n+1}) + q - q^{n+1}}{(1-q)^2} T(q)=(1−q)2(1−(n+1)qn−q+(n+1)qn+1)+q−qn+1
T ( q ) = 1 − ( n + 1 ) q n + ( n + 1 ) q n + 1 ( 1 − q ) 2 T(q) = \frac{1 - (n+1)q^n + (n+1)q^{n+1}}{(1-q)^2} T(q)=(1−q)21−(n+1)qn+(n+1)qn+1 -
最终结果：
通过对几何级数求导，我们得到：
∑ k = 1 n k q k − 1 = 1 − ( n + 1 ) q n + n q n + 1 ( 1 − q ) 2 \sum_{k=1}^n k q^{k-1} = \frac{1 - (n+1)q^n + n q^{n+1}}{(1-q)^2} k=1∑nkqk−1=(1−q)21−(n+1)qn+nqn+1
这样，我们就用 LaTeX 格式表示了 (\sum_{k=1}^n k q^{k-1}) 的求解步骤和最终结果。
这篇关于用 微 / 积分思想妙解关于等比数列的和的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！
