证明 几何分布 的期望和方差

本文主要是介绍证明 几何分布 的期望和方差，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

几何分布

几何分布（Geometric Distribution）描述了在进行一系列独立的伯努利试验时，第一次成功所需的试验次数。假设每次试验成功的概率为 ( p )，则几何分布的概率质量函数（PMF）为：

$$P(X=k)=(1-p{)}^{k-1}p,k=1,2,3,\dots$$

其中，随机变量 ( X ) 表示第一次成功所需的试验次数。

期望值

期望值（Expectation）表示随机变量的平均值。对于几何分布 ( X )，期望值 ( \mathbb{E}(X) ) 定义为：

$$\mathbb{E}(X)=\sum _{k=1}^{\infty }k\cdot P(X=k)$$

代入几何分布的概率质量函数：

$$\mathbb{E}(X)=\sum _{k=1}^{\infty }k\cdot (1-p{)}^{k-1}p$$

我们可以将 ( p ) 提取出来：

$$\mathbb{E}(X)=p\sum _{k=1}^{\infty }k\cdot (1-p{)}^{k-1}$$

为了计算这个和，我们使用以下求和公式：

$$\sum _{k=1}^{\infty }k{x}^{k-1}=\frac{1}{(1-x{)}^2}\text{for}|x|<1$$

在这里，令 ( x = 1 - p )，因此有：

$$\sum _{k=1}^{\infty }k\cdot (1-p{)}^{k-1}=\frac{1}{p^2}$$

代入上面的结果：

$$\mathbb{E}(X)=p\cdot \frac{1}{p^2}=\frac{1}{p}$$

方差

方差（Variance）表示随机变量与其期望值之间的离散程度，记作 ( \text{Var}(X) )。方差的定义为：

$$\text{Var}(X)=\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}(X){)}^2]=\mathbb{E}(X^2)-(\mathbb{E}(X){)}^2$$

首先，我们计算 ( \mathbb{E}(X^2) )。利用几何级数求和，我们有：

$$\mathbb{E}(X^2)=\sum _{k=1}^{\infty }{k}^2\cdot (1-p{)}^{k-1}p$$

我们使用以下求和公式：

$$\sum _{k=1}^{\infty }{k}^2{x}^{k-1}=\frac{1+x}{(1-x{)}^3}\text{for}|x|<1$$

令 ( x = 1 - p )，因此有：

$$\sum _{k=1}^{\infty }{k}^2\cdot (1-p{)}^{k-1}=\frac{1+(1-p)}{(1-(1-p){)}^3}=\frac{2-p}{p^3}$$

因此，

$$\mathbb{E}(X^2)=p\cdot \frac{2-p}{p^3}=\frac{2-p}{p^2}$$

现在我们可以计算方差：

$$\text{Var}(X)=\mathbb{E}(X^2)-(\mathbb{E}(X){)}^2=\frac{2-p}{p^2}-{\left(\frac{1}{p}\right)}^2=\frac{2-p}{p^2}-\frac{1}{p^2}=\frac{2-p-1}{p^2}=\frac{1-p}{p^2}$$

结论

对于几何分布 ( X )，其期望值和方差分别为：

$$\mathbb{E}(X)=\frac{1}{p}$$

$$\text{Var}(X)=\frac{1-p}{p^2}$$

这些结果表明，在进行一系列独立的伯努利试验中，第一次成功所需的试验次数的平均值是E(x)，而离散程度由Var(x)决定。

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