计算机视觉对极几何之Triangulate(三角化)

本文主要是介绍计算机视觉对极几何之Triangulate(三角化)，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

Overview

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求解空间点坐标

Triangulate in ORB-SLAM2

已知，两个视图下匹配点的 图像坐标 ${\mathbf{p}}_1$ 和 ${\mathbf{p}}_2$，两个相机的相对位姿 $\mathbf{T}$ ，相机内参矩阵 $\mathbf{K}$，求 对应的三维点坐标 $\mathbf{P}$，其齐次坐标为 $\tilde{\mathbf{P}}$。

两个视图的 投影矩阵 分别为

$$\begin{gathered} {\mathbf{P}}_1=\mathbf{K}\cdot [{\mathbf{I}}_{3\times 3}{0}_{3\times 1}],{\mathbf{P}}_1\in {\mathbb{R}}^{3\times 4} \\ {\mathbf{P}}_2=\mathbf{K}\cdot [{\mathbf{R}}_{3\times 3}{\mathbf{t}}_{3\times 1}],{\mathbf{P}}_2\in {\mathbb{R}}^{3\times 4} \end{gathered}$$

$$\mathbf{T}={\mathbf{T}}_{21}=[\mathbf{R}\mathbf{t}]\in {\mathbb{R}}^{3\times 4}$$

由于是齐次坐标的表示形式，使用叉乘消去齐次因子

$$\begin{gathered} \widetilde{{\mathbf{p}}_1}\times ({\mathbf{P}}_1\tilde{\mathbf{P}})=0 \\ \widetilde{{\mathbf{p}}_2}\times ({\mathbf{P}}_2\tilde{\mathbf{P}})=0 \end{gathered}$$

把 ${\mathbf{P}}_1$ 和 ${\mathbf{P}}_2$ 按行展开（上标代表行索引）代入，对于第一视图有

$$\left[\begin{array}{ccc}0& -1& v_1\\ 1& 0& -u_1\\ -v_1& u_1& 0\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{\mathbf{P}}_1^1\cdot \tilde{\mathbf{P}}\\ {\mathbf{P}}_1^2\cdot \tilde{\mathbf{P}}\\ {\mathbf{P}}_1^3\cdot \tilde{\mathbf{P}}\end{array}\right]=0$$

即

$$\begin{gathered} u_1({\mathbf{P}}_1^3\cdot \tilde{\mathbf{P}})-({\mathbf{P}}_1^1\cdot \tilde{\mathbf{P}})=0 \\ {v}_1({\mathbf{P}}_1^3\cdot \tilde{\mathbf{P}})-({\mathbf{P}}_1^2\cdot \tilde{\mathbf{P}})=0 \\ {u}_1({\mathbf{P}}_1^2\cdot \tilde{\mathbf{P}})-v_1({\mathbf{P}}_1^1\cdot \tilde{\mathbf{P}})=0 \end{gathered}$$

可见第三个式子可以由上两个式子线性表示，所以只需要取前连个式子即可

$$\left[\begin{array}{c}{u}_1{\mathbf{P}}_1^3-{\mathbf{P}}_1^1\\ v_1{\mathbf{P}}_1^3-{\mathbf{P}}_1^2\end{array}\right]\cdot \tilde{\mathbf{P}}=0$$

同样的，对于第二视图

$$\left[\begin{array}{c}{u}_2{\mathbf{P}}_2^3-{\mathbf{P}}_2^1\\ v_2{\mathbf{P}}_2^3-{\mathbf{P}}_2^2\end{array}\right]\cdot \tilde{\mathbf{P}}=0$$

组合起来

$${\mathbf{A}}_{4\times 4}\cdot \tilde{\mathbf{P}}=\left[\begin{array}{c}{u}_1{\mathbf{P}}_1^3-{\mathbf{P}}_1^1\\ v_1{\mathbf{P}}_1^3-{\mathbf{P}}_1^2\\ u_2{\mathbf{P}}_2^3-{\mathbf{P}}_2^1\\ v_2{\mathbf{P}}_2^3-{\mathbf{P}}_2^2\end{array}\right]\cdot \tilde{\mathbf{P}}=0$$

求解 $\mathbf{P}$ 相当于解一个 线性最小二乘问题。

SVD分解 $\mathbf{A}$

$$\text{SVD}(\mathbf{A})=\mathbf{U}\mathbf{\Sigma }{\mathbf{V}}^T$$

方程的解为 $\mathbf{A}$ 的 最小奇异值 对应的 奇异矢量，即 齐次坐标

$$\tilde{\mathbf{P}}=(X,Y,Z,W)={\mathbf{V}}_3$$

最终，$\mathbf{P}$（第一视图坐标系下三维坐标）为

$$\mathbf{P}=(\frac{X}{W},\frac{Y}{W},\frac{Z}{W})$$

orbslam2_cg中示例代码：

void Initializer::Triangulate(const cv::KeyPoint &kp1,const cv::KeyPoint &kp2,const cv::Mat &P1,const cv::Mat &P2,cv::Mat &x3D)
{cv::Mat A(4,4,CV_32F);A.row(0) = kp1.pt.x*P1.row(2)-P1.row(0);A.row(1) = kp1.pt.y*P1.row(2)-P1.row(1);A.row(2) = kp2.pt.x*P2.row(2)-P2.row(0);A.row(3) = kp2.pt.y*P2.row(2)-P2.row(1);cv::Mat u,w,vt;cv::SVD::compute(A,w,u,vt,cv::SVD::MODIFY_A| cv::SVD::FULL_UV);x3D = vt.row(3).t();x3D = x3D.rowRange(0,3)/x3D.at<float>(3);
}

Triangulate in PTAM

已知，两个视图下匹配点的 归一化平面(z=1)齐次坐标 ${\mathbf{p}}_1$ 和 ${\mathbf{p}}_2$，两个相机的相对位姿 $\mathbf{T}$，求 对应的三维点坐标 $\mathbf{P}$（第一视图坐标系下三维坐标），其齐次坐标为 $\tilde{\mathbf{P}}$。

方程

$$\begin{gathered} {\mathbf{p}}_1\times ({\mathbf{I}}_{3\times 4}\cdot \tilde{\mathbf{P}})=0 \\ {\mathbf{p}}_2\times ({\mathbf{T}}_{21}\cdot \tilde{\mathbf{P}})=0 \end{gathered}$$

$$\mathbf{T}={\mathbf{T}}_{21}=[\mathbf{R}\mathbf{t}]\in {\mathbb{R}}^{3\times 4}$$

矩阵形式

$${\mathbf{A}}_{6\times 4}\cdot \tilde{\mathbf{P}}=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{p}}_1\times {\mathbf{I}}_{3\times 4}\\ {\mathbf{p}}_2\times {\mathbf{T}}_{21}\end{array}\right]\cdot \tilde{\mathbf{P}}=0$$

求解 $\mathbf{P}$ 相当于解一个 线性最小二乘问题。

SVD分解 $\mathbf{A}$

$$\text{SVD}(\mathbf{A})=\mathbf{U}\mathbf{\Sigma }{\mathbf{V}}^T$$

方程的解为 $\mathbf{A}$ 的 最小奇异值 对应的 奇异矢量，即 齐次坐标

$$\tilde{\mathbf{P}}=(X,Y,Z,W)={\mathbf{V}}_3$$

最终，$\mathbf{P}$（第一视图坐标系下三维坐标）为

$$\mathbf{P}=(\frac{X}{W},\frac{Y}{W},\frac{Z}{W})$$

ptam_cg中示例代码Triangulate：

Vector<3> MapMaker::Triangulate(SE3<> se3AfromB,const Vector<2> &v2A,const Vector<2> &v2B)
{Matrix<3,4> PDash;PDash.slice<0,0,3,3>() = se3AfromB.get_rotation().get_matrix();PDash.slice<0,3,3,1>() = se3AfromB.get_translation().as_col();Matrix<4> A;A[0][0] = -1.0; A[0][1] =  0.0; A[0][2] = v2B[0]; A[0][3] = 0.0;A[1][0] =  0.0; A[1][1] = -1.0; A[1][2] = v2B[1]; A[1][3] = 0.0;A[2] = v2A[0] * PDash[2] - PDash[0];A[3] = v2A[1] * PDash[2] - PDash[1];SVD<4,4> svd(A);Vector<4> v4Smallest = svd.get_VT()[3];if(v4Smallest[3] == 0.0)v4Smallest[3] = 0.00001;return project(v4Smallest);
}

ptam_cg中示例代码TriangulateNew：

Vector<3> MapMaker::TriangulateNew(SE3<> se3AfromB,const Vector<2> &v2A,const Vector<2> &v2B)
{Vector<3> v3A = unproject(v2A);Vector<3> v3B = unproject(v2B);Matrix<3> m3A = TooN::Zeros;m3A[0][1] = -v3A[2];m3A[0][2] =  v3A[1];m3A[1][2] = -v3A[0];m3A[1][0] = -m3A[0][1];m3A[2][0] = -m3A[0][2];m3A[2][1] = -m3A[1][2];Matrix<3> m3B = TooN::Zeros;m3B[0][1] = -v3B[2];m3B[0][2] =  v3B[1];m3B[1][2] = -v3B[0];m3B[1][0] = -m3B[0][1];m3B[2][0] = -m3B[0][2];m3B[2][1] = -m3B[1][2];Matrix<3,4> m34AB;m34AB.slice<0,0,3,3>() = se3AfromB.get_rotation().get_matrix();m34AB.slice<0,3,3,1>() = se3AfromB.get_translation().as_col();SE3<> se3I;Matrix<3,4> m34I;m34I.slice<0,0,3,3>() = se3I.get_rotation().get_matrix();m34I.slice<0,3,3,1>() = se3I.get_translation().as_col();Matrix<3,4> PDashA = m3A * m34AB;Matrix<3,4> PDashB = m3B * m34I;Matrix<6,4> A;A.slice<0,0,3,4>() = PDashA;A.slice<3,0,3,4>() = PDashB;SVD<6,4> svd(A);Vector<4> v4Smallest = svd.get_VT()[3];if(v4Smallest[3] == 0.0)v4Smallest[3] = 0.00001;return project(v4Smallest);
}

求解空间点深度

已知，两个视图下匹配点的 归一化平面(z=1)齐次坐标 ${\mathbf{p}}_1$ 和 ${\mathbf{p}}_2$，两个相机的相对位姿 $\mathbf{T}$，求解空间点深度 $Z_1$ 和 $Z_2$

$$\mathbf{T}={\mathbf{T}}_{21}=[\mathbf{R}\mathbf{t}]\in {\mathbb{R}}^{3\times 4}$$

$$Z_2\cdot {\mathbf{p}}_2={\mathbf{T}}_{21}\cdot (Z_1\cdot {\mathbf{p}}_1)=Z_1\cdot \mathbf{R}{\mathbf{p}}_1+\mathbf{t}$$

矩阵形式

$$\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{p}}_2& -\mathbf{R}{\mathbf{p}}_1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{Z}_2\\ Z_1\end{array}\right]=\mathbf{t}$$

Triangulate in SVO

上式即 $Ax=b$ 的形式，解该方程可以用 正规方程

$$A^{T}Ax=A^{T}b$$

解得

$$x=(A^{T}A{)}^{-1}{A}^{T}b$$

svo_cg中示例代码：

bool depthFromTriangulation(const SE3& T_search_ref,const Vector3d& f_ref,const Vector3d& f_cur,double& depth)
{Matrix<double,3,2> A; A << T_search_ref.rotation_matrix() * f_ref, f_cur;const Matrix2d AtA = A.transpose() * A;if(AtA.determinant() < 0.000001)return false;const Vector2d depth2 =- AtA.inverse()* A.transpose() * T_search_ref.translation();depth = fabs(depth2[0]);return true;
}

Triangulate in REMODE

由于解向量是二维的，对上式采用 克莱默法则 求解：

$$\left[\begin{array}{c}{\mathbf{p}}_2\\ \mathbf{R}{\mathbf{p}}_1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{p}}_2& -\mathbf{R}{\mathbf{p}}_1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{Z}_2\\ Z_1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{p}}_2{\mathbf{p}}_2& -{\mathbf{p}}_2\cdot \mathbf{R}{\mathbf{p}}_1\\ {\mathbf{p}}_2\cdot \mathbf{R}{\mathbf{p}}_1& -\mathbf{R}{\mathbf{p}}_1\cdot \mathbf{R}{\mathbf{p}}_1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{Z}_2\\ Z_1\end{array}\right]=\mathbf{t}$$

REMODE中示例代码：

// Returns 3D point in reference frame
// Non-linear formulation (ref. to the book 'Autonomous Mobile Robots')
__device__ __forceinline__
float3 triangulatenNonLin(const float3 &bearing_vector_ref,const float3 &bearing_vector_curr,const SE3<float> &T_ref_curr)
{const float3 t = T_ref_curr.getTranslation();float3 f2 = T_ref_curr.rotate(bearing_vector_curr);const float2 b = make_float2(dot(t, bearing_vector_ref),dot(t, f2));float A[2*2];A[0] = dot(bearing_vector_ref, bearing_vector_ref);A[2] = dot(bearing_vector_ref, f2);A[1] = -A[2];A[3] = dot(-f2, f2);const float2 lambdavec = make_float2(A[3] * b.x - A[1] * b.y,-A[2] * b.x + A[0] * b.y) / (A[0] * A[3] - A[1] * A[2]);const float3 xm = lambdavec.x * bearing_vector_ref;const float3 xn = t + lambdavec.y * f2;return (xm + xn)/2.0f;
}

Reference

• 三角形法恢复空间点深度

这篇关于计算机视觉对极几何之Triangulate(三角化)的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

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