级数收敛和数列收敛的辨别

本文主要是介绍级数收敛和数列收敛的辨别，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

目录

1、级数与部分和

2、级数收敛和数列收敛

3、正向级数与非正向级数

4、级数收敛与子级数收敛

5、数列收敛和子数列收敛

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1、级数与部分和

1. 级数：是一个数列的无穷项的和。
2. 部分和：是该数列的前n项相加的和函数，也就是级数中的前多少项（一部分项）拿出来，组成一个新的数列。
3. 级数的和：可以理解为n→∞级数的部分和。

2、级数收敛和数列收敛

1. 级数 ∑an 收敛：指部分和数列的极限存在， lim(n→∞) Sn = s 存在。此时必然有 lim(n→∞) an =0（级数收敛的必要条件）。
2. 数列 {an} 收敛：指级数通项的极限存在， lim(n→∞) an = a 存在。
3. 级数收敛可推出对应通项的数列必然收敛；数列收敛，未必其和就收敛。
4. 由数列发散可以推断出级数发散。

3、正向级数与非正向级数

1. 正项级数收敛，子级数一定收敛。
2. 非正项级数收敛，子级数未必收敛（交错级数，只考虑奇数项的级数，它是发散的）
3. 正项级数发散，子级数未必发散（调和级数发散，如果我们只考虑它的前几项，这个子级数是有限的因此是收敛的）
4. 非正项级数发散，子级数未必发散（1，0，1，0，1........）

4、级数收敛与子级数收敛

1. 若任意项级数，若 ∑a_2n-1 、∑a_2n 均收敛，则 ∑a_n 一定收敛。
2. 若 ∑(a_2n-1 + ∑a_2n) 收敛，则 ∑a_n 未必收敛。如 an=(-1)^n（正负相消）
3. 若 ∑a_n 收敛，则 ∑(a_2n-1 + ∑a_2n) 一定收敛。（收敛函数，加括号仍收敛）

5、数列收敛和子数列收敛

1. 数列收敛充要条件是任意子数列都收敛。（但数列发散，子列未必发散）
2. 收敛数列lim(n→∞) an = a，其任意子数列均收敛，且均收敛于 a 。

• 若奇子列、偶子列均收敛，且均收敛于 a，那么原数列收敛于 a。
• 若奇子列、偶子列均收敛，但极限不等，则原数列发散。

文章引用以下大佬内容

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