EM算法与变分推断

2024-05-14 21:52
文章标签 算法 em 推断 变分

本文主要是介绍EM算法与变分推断,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

符号说明

  • x x x:已观测变量的集合 { x 1 , x 2 , x 3 , . . . , x N } \{x_1,x_2,x_3,...,x_N\} {x1,x2,x3,...,xN},长度为 N N N
  • z z z:隐变量(未观测变量)
  • θ \theta θ:分布参数
  • ( x , z ) (x,z) (x,z):完整数据
  • p ( x ∣ θ ) p(x|\theta) p(xθ):似然函数

KL散度

  • KL散度用于衡量原始分布与近似分布的差异,从公式来看,其计算的是原始分布与近似分布之间的对数差的期望,公式如下
    D K L ( p ∣ ∣ q ) = E [ ln ⁡ p ( x ) − ln ⁡ q ( x ) ] = ∑ i = 1 N p ( x i ) ln ⁡ p ( x i ) q ( x i ) = ∫ x p ( x i ) ln ⁡ p ( x i ) q ( x i ) d x D_{KL}(p||q)=E[\ln p(x)-\ln q(x)]=\sum_{i=1}^Np(x_i)\ln \frac{p(x_i)}{q(x_i)}=\int_x p(x_i) \ln \frac{p(x_i)}{q(x_i)}dx DKL(p∣∣q)=E[lnp(x)lnq(x)]=i=1Np(xi)lnq(xi)p(xi)=xp(xi)lnq(xi)p(xi)dx
  • KL散度大于等于0

EM算法

EM算法原理

  • EM算法常用于估计参数的隐变量,它是一种迭代式的方法,其基本想法是:如果参数 θ \theta θ已知,则可以根据训练数据推断出最优隐变量 z z z的值( E E E步)反之,若 z z z已知,则可以方便地对参数 θ \theta θ做极大似然估计( M M M步)
  • 假设我们要对参数 θ \theta θ做极大似然估计,则需要最大化对数似然
    ln ⁡ p ( x , z ∣ θ ) \ln p(x,z|\theta) lnp(x,zθ),但由于隐变量 z z z是未知的,因此上式无法直接求解,我们可以通过对上式计算关于 z z z的期望来最大化已观测数据x的边缘似然,即最大化
    ln ⁡ p ( x , z ∣ θ ) = ∫ z ln ⁡ p ( x , z ∣ θ ) p ( z ∣ x , θ ) d z \ln p(x,z|\theta)=\int_z \ln p(x,z|\theta)p(z|x,\theta)dz lnp(x,zθ)=zlnp(x,zθ)p(zx,θ)dz
  • 于是,EM算法的原型便是,以初始值 θ 0 \theta^0 θ0为起点,对上式可迭代执行以下步骤直至收敛:
    • 基于第 t t t步的 θ t \theta^t θt推断隐变量 z z z的分布 p ( z ∣ x , θ ) p(z|x,\theta) p(zx,θ)
    • 基于已观测变量 x x x p ( z ∣ x , θ ) p(z|x,\theta) p(zx,θ)对参数 θ \theta θ做极大似然估计得到 θ t + 1 \theta^{t+1} θt+1
  • 由此,我们可以得出EM算法的迭代方程
    θ t + 1 = arg max ⁡ θ ∫ z ln ⁡ p ( x , z ∣ θ t ) p ( z ∣ x , θ t ) d z \theta^{t+1}=\argmax_\theta\int_z \ln p(x,z|\theta^t)p(z|x,\theta^t)dz θt+1=θargmaxzlnp(x,zθt)p(zx,θt)dz

变分推断

问题背景

  • 通常而言,机器学习中需要解决的问题是由观察到的变量 x x x来估计隐变量 z z z的分布以及参数 θ \theta θ,也就是求解 p ( z ∣ x , θ ) p(z|x,\theta) p(zx,θ)以及 θ \theta θ

    用公式来表达,变量集合 x x x的联合分布为 p ( x ∣ θ ) = ∏ i = 1 N ∫ z p ( x i , z ∣ θ ) d z p(x|\theta)=\prod_{i=1}^N\int_zp(x_i,z|\theta)dz p(xθ)=i=1Nzp(xi,zθ)dz
    则其对应的对数似然函数就为
    ln ⁡ p ( x ∣ θ ) = ln ⁡ ∏ i = 1 N p ( x i , z ∣ θ ) = ∑ i = 1 N ln ⁡ [ ∫ z p ( x i , z ∣ θ ) d z ] \ln p(x|\theta)=\ln \prod_{i=1}^Np(x_i,z|\theta)=\sum_{i=1}^N\ln\left[\int_z p(x_i,z|\theta)dz\right] lnp(xθ)=lni=1Np(xi,zθ)=i=1Nln[zp(xi,zθ)dz]

  • 而概率模型中的参数估计通常以最大化对数似然函数为手段,对上式应用EM算法得到 θ t + 1 = arg max ⁡ θ ∫ z ln ⁡ p ( x , z ∣ θ t ) p ( z ∣ x , θ t ) d z \theta^{t+1}=\argmax_\theta\int_z \ln p(x,z|\theta^t)p(z|x,\theta^t)dz θt+1=θargmaxzlnp(x,zθt)p(zx,θt)dz p ( z ∣ x , θ t ) p(z|x,\theta^t) p(zx,θt)与隐变量 z z z的真实后验分布相等时, ∫ z ln ⁡ p ( x , z ∣ θ t ) p ( z ∣ x , θ t ) d z \int_z \ln p(x,z|\theta^t)p(z|x,\theta^t)dz zlnp(x,zθt)p(zx,θt)dz近似于对数似然函数,然而,由于隐变量 z z z是未知的,我们很难得知它的真实分布,因此我们实际使用的 p ( z ∣ x , θ t ) p(z|x,\theta^t) p(zx,θt)未必是隐变量 z z z的真实后验分布,而通常只是一个近似分布。

  • 因此,如何推断 z z z的真实后验分布 p ( z ∣ x , θ t ) p(z|x,\theta^t) p(zx,θt)成为了一个问题,此时我们便可以借助变分推断。假设我们现在要使用近似分布 q ( z ) q(z) q(z)去逼近真实分布 p ( z ∣ x , θ t ) p(z|x,\theta^t) p(zx,θt),我们可以很容易验证以下关系式
    ln ⁡ p ( x ∣ θ ) = L ( q ) + K L ( q ∣ ∣ p ) \ln p(x|\theta)=L(q)+KL(q||p) lnp(xθ)=L(q)+KL(q∣∣p)其中 L ( q ) = ∫ z ln ⁡ p ( x , z ∣ θ ) q ( z ) q ( z ) d z L(q)=\int_z \ln \frac{p(x,z|\theta)}{q(z)}q(z)dz L(q)=zlnq(z)p(x,zθ)q(z)dz K L ( q ∣ ∣ p ) = ∫ z ln ⁡ q ( z ) p ( z ∣ x , θ ) q ( z ) d z KL(q||p)=\int_z\ln \frac{q(z)}{p(z|x,\theta)}q(z)dz KL(q∣∣p)=zlnp(zx,θ)q(z)q(z)dz

  • 证明如下,通过将对数似然函数进行变换可以得到
    ln ⁡ p ( x ∣ θ ) = ln ⁡ p ( x , z ∣ θ ) − ln ⁡ p ( z ∣ x , θ ) = ln ⁡ p ( x , z ∣ θ ) q ( z ) − ln ⁡ p ( z ∣ x , θ ) q ( z ) \begin{aligned} \ln p(x|\theta) &= \ln p(x,z|\theta)-\ln p(z|x,\theta)\\ &= \ln \frac{p(x,z|\theta)}{q(z)}-\ln \frac{p(z|x,\theta)}{{q(z)}}\\ \end{aligned} lnp(xθ)=lnp(x,zθ)lnp(zx,θ)=lnq(z)p(x,zθ)lnq(z)p(zx,θ)对等式两边同时乘上 q ( z ) q(z) q(z)可得
    ln ⁡ p ( x ∣ θ ) q ( z ) = ln ⁡ p ( x , z ∣ θ ) q ( z ) q ( z ) − ln ⁡ p ( z ∣ x , θ ) q ( z ) q ( z ) \ln p(x|\theta)q(z) = \ln \frac{p(x,z|\theta)}{q(z)}q(z)-\ln \frac{p(z|x,\theta)}{{q(z)}}q(z) lnp(xθ)q(z)=lnq(z)p(x,zθ)q(z)lnq(z)p(zx,θ)q(z)等式两边同时对 z z z求积分,由于 ln ⁡ p ( x ∣ θ ) \ln p(x|\theta) lnp(xθ) z z z无关,因此积分后仍得原式,所以有
    ln ⁡ p ( x ∣ θ ) = ∫ z ln ⁡ p ( x , z ∣ θ ) q ( z ) q ( z ) d z − ∫ z ln ⁡ p ( z ∣ x , θ ) q ( z ) q ( z ) d z = ∫ z ln ⁡ p ( x , z ∣ θ ) q ( z ) q ( z ) d z + ∫ z ln ⁡ q ( z ) p ( z ∣ x , θ ) q ( z ) d z \begin{aligned} \ln p(x|\theta) &= \int_z \ln \frac{p(x,z|\theta)}{q(z)}q(z)dz-\int_z\ln \frac{p(z|x,\theta)}{{q(z)}}q(z)dz\\ &= \int_z \ln \frac{p(x,z|\theta)}{q(z)}q(z)dz+\int_z\ln \frac{q(z)}{p(z|x,\theta)}q(z)dz\\ \end{aligned} lnp(xθ)=zlnq(z)p(x,zθ)q(z)dzzlnq(z)p(zx,θ)q(z)dz=zlnq(z)p(x,zθ)q(z)dz+zlnp(zx,θ)q(z)q(z)dz L ( q ) = ∫ z ln ⁡ p ( x , z ∣ θ ) q ( z ) q ( z ) d z L(q)=\int_z \ln \frac{p(x,z|\theta)}{q(z)}q(z)dz L(q)=zlnq(z)p(x,zθ)q(z)dz K L ( q ∣ ∣ p ) = ∫ z ln ⁡ q ( z ) p ( z ∣ x , θ ) q ( z ) d z KL(q||p)=\int_z\ln \frac{q(z)}{p(z|x,\theta)}q(z)dz KL(q∣∣p)=zlnp(zx,θ)q(z)q(z)dz,则关系式得证。

  • 观察我们所得到的关系式,假如我们假设近似分布 q ( z ) q(z) q(z)无限接近于 p ( z ∣ x , θ ) p(z|x,\theta) p(zx,θ),那么KL散度便无限趋近于0,此时就有 ln ⁡ p ( x ∣ θ ) ≈ L ( q ) \ln p(x|\theta)\approx L(q) lnp(xθ)L(q)于是,我们就将最大化对数似然的问题就转化为找到一个q(z)能最大化 L ( q ) L(q) L(q)的问题

这篇关于EM算法与变分推断的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!



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