隐马尔可夫模型（HMM），了解一下？

本文主要是介绍隐马尔可夫模型（HMM），了解一下？，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

隐马尔可夫模型（HMM）

1. 隐马尔可夫模型基本概念

1.1 定义

• 隐马尔可夫模型，又叫做HMM，是关于时序的概率模型，描述一个由隐藏的马尔科夫链随机生成不可观测的状态随机序列,再由各个状态生成一个可观测的观测随机序列的过程。
• 状态序列（state sequence）: 由隐藏的马尔可夫链生 成的状态的序列；
• 观测序列（observation sequence）: 每个状态生成一个观测，由此产生一个观测序列；
• 序列的每一个位置可以看做一个时刻；
• 隐马尔可夫模型属于生成模型。在语音识别、自然语言处理等领域应用广泛

三元组来表示一个隐马尔可夫模型

• π 初始状态概率向量。 表示第1个时刻处于各个状态的概率
• A 状态转移概率矩阵。 Aij 表示由状态i转移到状态j的概率
• B 观测概率矩阵。 每一行对应一个状态，每一列对应一个观测，表示在该状态下，出现某个观测的概率

两个基本假设：

• 齐次马尔可夫性假设。隐藏的马尔可夫链在任意时刻t的状态，只依赖于他前一个时刻的状态。与其他的状态和观测无关
• 观测独立性假设。任意时刻的观测只依赖于该时刻的状态。与其他的观测和状态无关

应用：标注。
标注问题是给定观测序列预测其对应的标记序列。这是标记序列对应着状态序列。可以假设标注问题的数据是由隐马尔可夫模型生成的。

再多的公式也不如一个例子：
掷骰子，非常经典的问题，三种骰子，给出一个观测到的结果序列，那么对应的骰子序列，就是对应的隐藏状态序列。

1.2 观测序列生成过程

• 按照初始状态概率分布 π 产生初始时刻 t=1 的状态
• 按照观测概率矩阵，产生在此状态下的观测
• 按照状态转移概率矩阵，得到下一个时刻 t=2 的状态
• 依次直到t=T为止，就产生了一个长度为T的观测序列和状态序列

1.3 3个基本问题

1. 概率计算。给定模型
   ，以及观测序列 O ，求该观测序列出现的概率
2. 学习问题。已知观测序列 O ，求模型参数A, B, π，使得该模型下该观测序列出现的概率最大，即用极大似然估计的方法估计参数
3. 预测问题。给定模型和观测序列，求对应的最有可能的状态序列。即最大化条件概率P(I|O)

2. 概率计算方法

给出模型 + 观测序列。求该观测序列出现的概率

2.1 直接计算法

把所有可能出现该观测序列的状态序列，全部枚举出来。然后计算每一个状态序列+观测序列对应的概率。取其中最大的一个作为该观测序列的概率。
当马尔可夫链比较长的时候，枚举的情况太多，导致此方法理论可行，实际往往不行。

2.2 前向算法

先说一个简单的问题，假如你知道了隐藏的状态序列，让你求当前观测的序列概率。

那么概率的计算无非就是各个概率的相乘：（包括状态到状态的转移概率，以及状态到观测的概率）

现在问题升级：不知道隐藏状态序列，如何求出观测序列概率？

解法也很简单：对于t=1时刻，依次假设当前处于某一个状态，然后计算该状态下得到观测O(1)的概率。那么把所有的状态计算出来的概率**求和**，就得到了t=1时刻，出现该观测的概率（也就是我们要求的结果）。
然后开始递推，假设已经求出来t=T-1时刻，每一个状态对应的概率。那么对于t=T时刻，我们依旧遍历当前处于的状态，然后依据t=T-1的各状态概率计算结果，来得到t=T时刻，处于各个状态并得到T时刻观测的概率。遍历各个状态的概率，**求和**就得到了T时刻观测的概率，这个概率就是出现整个观测序列的概率，也就是我们要求的最终结果.
这就是前向算法（forward algorithm）。

比如下面这个例子：我们模型参数（骰子及各个概率），要求出出现观测1，6，3的概率是多少？

首先，如果我们只掷一次骰子：

观测结果为1。产生这个结果的总概率可以按照如下来计算，总概率为0.18:

P1表示第一次掷，对应的每一行，一次表示当前投掷的时候，分别使用的是D6 D4 D8骰子。

情况拓展，投掷两次骰子：

看到结果为1，6.产生这个结果的总概率为0.05：

我们拿P2列，D6行来解释下：它表示第二次投掷用的是D6骰子，那么第一次用哪个那？都有可能！所以第二次观测到6的总概率，就是（第一次用D6并投出了1的概率 + 第一次用D4并投出了1 + 第一次用D8并投出了1） * 第二次用了D6 * D6投出了6.
也就是说，第二个状态是D6，那么他可能是怎么来的那？它是由第一个状态转化来的，而且每一种第一个状态都可能以不同的概率转换成第二个状态。（这里我们为了简单，认为都是1/3）
然后依次遍历第二个状态所有的状态，求出概率后，把概率加起来就是我们t=2时刻的观测出现的概率了。

继续拓展，投三次：

看到结果为1，6，3，总概率为0.03：

这样一步一步的计算，无论马尔可夫链有多长，总能算完。相比直接穷举这样复杂度会低很多。减少计算量的关键在于每一次计算都直接引用前一个计算的结果，避免了重复计算。局部计算前向概率，然后利用路径结构将前向概率递推到全局。

2.3 后向算法

与前向计算相对应的是后向计算。从后向前推，大体的思想也是利用之前计算的结果来计算当前时刻的概率。

3. 学习算法

学习算法。主要是给出观测概率，让我们估计模型参数。也就是学习这个模型是什么。是最常见的情况。

3.1 监督学习方法

如果给出了多个观测序列和对应的状态序列，那么就属于监督学习。
所谓的监督学习就是用频率来估计概率。属于极大似然估计
比如：统计每个状态序列t=1时刻的状态，那么状态的频率我们就认为是状态的初始概率π

3.2 非监督学习方法 EM算法 Baum-Welch算法

非监督学习利用的是EM算法来进行参数估计

只有观测序列，没有状态序列，目标是求出对应的隐马尔可夫模型参数。那么隐马尔可夫模型实际上是一个含有隐变量的概率模型：

• 第一步：定义完全数据的对数似然函数。

定义完全数据为：
完全数据的对数似然函数是

• 第二步：EM算法的E步：

利用当前模型参数的估计值，得到完全数据的对数似然函数的期望：

其中，是当前模型参数的估计值。是要极大化的模型参数。

• 第三步：EM算法的M步：

将上面公式拆解成三部分，分别只包含π, A, B然后分别极大化每一部分。利用了概率和为1这个约束条件，再加上拉格朗日乘子法得到最终结果。

4. 预测算法

已知模型参数和观测序列，目标：求出最可能的状态序列

4.1 近似算法

思想非常简单：在每个时刻t选择在该时刻最优可能出现的状态，从而得到一个状态序列，作为最终的预测结果。

4.2 维特比算法

维特比算法是用动态规划解决隐马尔可夫预测问题。求概率最大路径，这时一条路径对应着一个状态序列。
最优路径特性：从路径中间截开，那么前面一段和后面一段都是最优的。
跟前向算法求观测概率一样，我们还是递推的来求，但是这次只关注如何选择状态可以得到一个最大概率，而不是概率的和。最大的那个概率对应的状态，就是我们预测的状态。
继续拿投骰子说事：
首先，如果我们只投一次骰子：

观测结果为1，对应最大概率的骰子序列就是D4，因为D4产生1的概率是1/4，大于1/6和1/8.

继续，投两次骰子：

观测结果为1，6. 这时我们需要计算三个值，分别是第二个骰子是D4，D6，D8的最大概率。

以第二个骰子是D6为例。第一个可选的状态为D4，D6，D8，分别计算出概率为：

最终，P2(D6)选上面三个中概率最大的一个。

依次计算出P2(D4)和P2(D8)，然后从这些里面取最大概率值，作为第二轮的预测状态。

这里跟前向传播比较相似，只不过每次都只取最大值。同样是利用了之前的计算结果，所以减小了计算量。

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