本文主要是介绍AI理论随笔-最优化（2），希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
齐次线性方程组的解集的极大线性无关组称为该齐次线性方程组的基础解系。基础解系是线性无关的，简单的理解就是能够用它的线性组合表示出该方程组的任意一组解。
基础解系不是唯一的，因为基础解系是AX=0的所有解的极大无关组。也是AX=0解空间的基基也不是唯一的。
基础解系针对齐次线性方程组 A X = 0 AX = 0 AX=0而言的.
当 r ( A ) ≤ n r(A)\leq n r(A)≤n (n是A的列数)时, 方程组存在基础解系。
方程组的任一解都可表示为基础解系的线性组合。
具体来说：
A 为 m × n 矩 阵 ( 1 ) A X = 0 的 一 组 解 为 ξ 1 、 ξ 2 、 . . . 、 ξ t （ 2 ） ξ 1 、 ξ 2 、 . . . 、 ξ t 线 性 无 关 （ 3 ） A X = 0 的 任 一 解 可 由 这 组 解 ξ 1 、 ξ 2 、 . . . 、 ξ t 线 性 表 示 A为m \times n 矩阵\\ (1)AX=0的一组解为\xi_{1}、\xi_{2}、...、\xi_{t}\\ （2）\xi_{1}、\xi_{2}、...、\xi_{t}线性无关\\ （3）AX=0的任一解可由这组解\xi_{1}、\xi_{2}、...、\xi_{t}线性表示\\ A为m×n矩阵(1)AX=0的一组解为ξ1、ξ2、...、ξt（2）ξ1、ξ2、...、ξt线性无关（3）AX=0的任一解可由这组解ξ1、ξ2、...、ξt线性表示
ξ 1 、 ξ 2 、 . . . 、 ξ t 为 A X = 0 的 基 础 解 系 X = k 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 + . . . + k t ξ t 为 A X = 0 的 通 解 \xi_{1}、\xi_{2}、...、\xi_{t} 为AX=0的基础解系\\ X=k_{1} \xi_{1}+k_{2} \xi_{2}+...+k_{t} \xi_{t}为AX=0的通解 ξ1、ξ2、...、ξt为AX=0的基础解系X=k1ξ1+k2ξ2+...+ktξt为AX=0的通解
矩阵的秩等于其列向量组（或者行向量组）的极大线性无关组的维数
基础解系是解空间的极大线性无关组，其极大线性无关组所含向量个数称为解空间的秩。解空间也是线性空间，它的线性无关向量组所含向量的最大个数为维数dim。
A X = 0 的 系 数 矩 阵 的 秩 为 r ( A ) ， 则 A X = 0 的 解 空 间 N A （ 由 所 有 解 组 成 的 空 间 ） 的 维 数 为 ： d i m ( N A ) = n − r ( A ) AX=0的系数矩阵的秩为r(A)，则AX=0的解空间N_{A}\\（由所有解组成的空间）的维数为：\\ dim(N_{A})=n-r(A) AX=0的系数矩阵的秩为r(A)，则AX=0的解空间NA（由所有解组成的空间）的维数为：dim(NA)=n−r(A)
解空间的基不是唯一的，任意 n − r ( A ) n-r(A) n−r(A)个解（解中的向量组线性无关）都是它的基础解系。
以下列方程为例：
{ x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 0 2 x 1 + 3 x 2 + x 3 + 7 x 4 + 4 x 5 = 0 x 2 + x 3 + 3 x 4 + 4 x 5 = 0 5 x 1 + 4 x 2 + x 3 + 5 x 4 − 2 x 5 = 0 \left\{ \begin{array}{l} x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=0\\ 2x_1+3x_2+x_3+7x_4+4x_5=0\\ x_2+x_3+3x_4+4x_5=0\\ 5x_1+4x_2+x_3+5x_4-2x_5=0 \end{array} \right. ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x1+x2+x3+x4+x5=02x1+3x2+x3+7x4+4x5=0x2+x3+3x4+4x5=05x1+4x2+x3+5x4−2x5=0
A = [ 1 1 1 1 1 2 3 1 7 4 0 1 1 3 4 5 4 1 5 − 2 ] r 1 × ( − 2 ) + r 2 r 1 × ( − 5 ) + r 4 → [ 1 1 1 1 1 0 1 − 1 5 2 0 1 1 3 4 0 − 1 − 4 0 − 7 ] A=\begin{bmatrix} 1 & 1&1&1&1\\ 2& 3&1&7&4 \\ 0&1&1&3&4\\5&4&1&5&-2 \end {bmatrix} \overrightarrow{r_1\times (-2)+r2 \quad\quad r_1\times (-5)+r4} \begin{bmatrix} 1 & 1&1&1&1\\ 0& 1&-1&5&2 \\ 0&1&1&3&4\\0&-1&-4&0&-7 \end {bmatrix} A=⎣⎢⎢⎡1205131411111735144−2⎦⎥⎥⎤r1×(−2)+r2r1×(−5)+r4⎣⎢⎢⎡1000111−11−11−41530124−7⎦⎥⎥⎤
r 3 + r 4 r 2 × ( − 1 ) + r 1 → [ 1 0 2 − 4 − 1 0 1 − 1 5 2 0 1 1 3 4 0 0 − 3 3 − 3 ] r 2 × ( − 1 ) + r 3 → [ 1 0 2 − 4 − 1 0 1 − 1 5 2 0 0 2 − 2 2 0 0 − 3 3 − 3 ] \overrightarrow{ r_3+r_4 \quad\quad r_2 \times (-1)+r_1} \begin{bmatrix} 1 & 0&2&-4&-1\\ 0& 1&-1&5&2 \\ 0&1&1&3&4\\0&0&-3&3&-3 \end {bmatrix}\\ \overrightarrow{ r_2 \times (-1)+r_3 } \begin{bmatrix} 1&0&2&-4&-1\\ 0& 1&-1&5&2 \\ 0&0&2&-2&2\\0&0&-3&3&-3 \end {bmatrix} r3+r4r2×(−1)+r1⎣⎢⎢⎡100001102−11−3−4533−124−3⎦⎥⎥⎤r2×(−1)+r3⎣⎢⎢⎡100001002−12−3−45−23−122−3⎦⎥⎥⎤
r 3 × 3 2 + r 4 → [ 1 0 2 − 4 − 1 0 1 − 1 5 2 0 0 2 − 2 2 0 0 0 0 0 ] r 3 × − 1 2 → [ 1 0 2 − 4 − 1 0 1 − 1 5 2 0 0 1 − 1 1 0 0 0 0 0 ] r 3 + r 2 r 3 × ( − 2 ) + r 1 → [ 1 0 0 − 2 − 3 0 1 0 4 3 0 0 1 − 1 1 0 0 0 0 0 ] \overrightarrow{ r_3 \times \frac{3}{2}+r_4} \begin{bmatrix} 1&0&2&-4&-1\\ 0& 1&-1&5&2 \\ 0&0&2&-2&2\\0&0&0&0&0 \end {bmatrix} \overrightarrow{ r_3 \times -\frac{1}{2}} \begin{bmatrix} 1&0&2&-4&-1\\ 0& 1&-1&5&2 \\ 0&0&1&-1&1\\0&0&0&0&0 \end {bmatrix}\\ \overrightarrow{ r_3+r_2\quad\quad r_3 \times (-2)+r_1} \begin{bmatrix} 1&0&0&-2&-3\\ 0& 1&0&4&3 \\ 0&0&1&-1&1\\0&0&0&0&0 \end {bmatrix} r3×23+r4⎣⎢⎢⎡100001002−120−45−20−1220⎦⎥⎥⎤r3×−21⎣⎢⎢⎡100001002−110−45−10−1210⎦⎥⎥⎤r3+r2r3×(−2)+r1⎣⎢⎢⎡100001000010−24−10−3310⎦⎥⎥⎤
x 1 = 2 x 4 + 3 x 5 x 2 = − 4 x 4 + − 3 x 5 x 3 = x 4 − x 5 x_1=2 x_4+3x_5\\ x_2=-4x_4+-3x_5\\ x_3=x_4-x_5 x1=2x4+3x5x2=−4x4+−3x5x3=x4−x5
令
( x 4 x 5 ) = ( 1 0 ) 及 ( 0 1 ) \begin{pmatrix} x_4 \\x_5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\0 \end{pmatrix}及 \begin{pmatrix}0 \\1 \end{pmatrix} (x4x5)=(10)及(01)
使得
( x 1 x 2 x 3 ) = ( 2 − 4 − 1 ) 和 ( 3 − 3 − 1 ) \begin{pmatrix} x_1 \\x_2 \\x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\-4 \\-1\end{pmatrix}和\begin{pmatrix}3 \\-3 \\-1\end{pmatrix} ⎝⎛x1x2x3⎠⎞=⎝⎛2−4−1⎠⎞和⎝⎛3−3−1⎠⎞
下面计算基础解系：
ξ 1 = ( 2 − 4 1 1 0 ) ξ 2 = ( 3 − 3 − 1 0 1 ) \xi_1= \begin{pmatrix} 2 \\-4\\1\\1\\0\end{pmatrix} \xi_2= \begin{pmatrix} 3 \\-3\\-1\\0\\1\end{pmatrix} ξ1=⎝⎜⎜⎜⎜⎛2−4110⎠⎟⎟⎟⎟⎞ξ2=⎝⎜⎜⎜⎜⎛3−3−101⎠⎟⎟⎟⎟⎞
原方程组的通解为：
X = k 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 X=k_1\xi_1+k_2\xi_2 X=k1ξ1+k2ξ2
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