AI理论随笔-最优化(1)

2024-05-10 03:38
文章标签 ai 理论 随笔 最优化

本文主要是介绍AI理论随笔-最优化(1),希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

线性规则(优化)是一类最优化问题。其中,目标函数是未知数的线性函数。约束条件是线性等式和线性不等式构成。
标准形式为:
m i n ( m a x ) c T x s . t . A x = b x ≥ 0 min(max) c^{T}x\\ s.t.Ax=b\\ x\geq0 min(max)cTxs.t.Ax=bx0
其中 x x x为n维列向量, c T c^{T} cT为n维行向量,A为 m × n m\times n m×n阶矩阵, b b b为n维列向量。 x ≥ 0 x\geq 0 x0表示 x x x的每一分量非负。

将线性不等式转为等式:
m i n c T x s . t . a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n ≤ b 1 . . . x ≥ 0 min c^{T}x\\ s.t. a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}\leq b_{1}\\ .\\ .\\ .\\ x\geq0 mincTxs.t.a11x1+a12x2+...+a1nxnb1...x0
加上松驰变量 y 1 、 y 2 、 . . . 、 y m y_{1}、y_{2}、...、y_{m} y1y2...ym
m i n c T x s . t . a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n + y 1 = b 1 . . . x ≥ 0 min c^{T}x\\ s.t. a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n} +y_{1}= b_{1}\\ .\\ .\\ .\\ x\geq0 mincTxs.t.a11x1+a12x2+...+a1nxn+y1=b1...x0

m i n c T x s . t . a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n ≥ b 1 . . . x ≥ 0 min c^{T}x\\ s.t. a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}\geq b_{1}\\ .\\ .\\ .\\ x\geq0 mincTxs.t.a11x1+a12x2+...+a1nxnb1...x0
也可减上剩余变量 y 1 、 y 2 、 . . . 、 y m y_{1}、y_{2}、...、y_{m} y1y2...ym
m i n c T x s . t . a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n − y 1 = b 1 . . . x ≥ 0 min c^{T}x\\ s.t. a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n} -y_{1}= b_{1}\\ .\\ .\\ .\\ x\geq0 mincTxs.t.a11x1+a12x2+...+a1nxny1=b1...x0
如果有变量满足非负性,则称为自由变量
假设 x 1 x_{1} x1为自由变量,则可设
x 1 = u 1 − v 1 u 1 ≥ 0 v 1 ≥ 0 x_{1}=u_{1}-v_{1}\\ u_{1} \geq 0\\ v_{1} \geq 0 x1=u1v1u10v10
也可通过用约束等式消掉 x 1 x_{1} x1
m i n x 1 + 2 x 2 + 8 x 3 s . t . x 1 + 12 x 2 + x 3 = 10 x 1 + x 2 + x 3 = 8 min\ x_{1}+2x_{2}+8x_{3}\\ s.t. \ x_{1}+12x_{2}+x_{3}=10\\ x_{1}+x_{2}+x_{3}=8\\ min x1+2x2+8x3s.t. x1+12x2+x3=10x1+x2+x3=8
x 1 x_{1} x1消去
x 1 = 10 − 12 x 2 + x 3 x_{1}=10-12x_{2}+x_{3} x1=1012x2+x3
自由变量没有了,成为标准线性优化问题
m i n x 1 + 2 x 2 + 8 x 3 s . t . 10 − 12 x 2 + x 3 + 12 x 2 + x 3 = 10 10 − 12 x 2 + x 3 + x 2 + x 3 = 8 min\ x_{1}+2x_{2}+8x_{3}\\ s.t. \ 10-12x_{2}+x_{3}+12x_{2}+x_{3}=10\\ 10-12x_{2}+x_{3}+x_{2}+x_{3}=8\\ min x1+2x2+8x3s.t. 1012x2+x3+12x2+x3=101012x2+x3+x2+x3=8

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