漫步微积分二十一——不定积分和换元法

2024-05-08 16:18

本文主要是介绍漫步微积分二十一——不定积分和换元法,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

如果 y=F(x) 是导数已知的函数,例如

ddxF(x)=2x(1)
我们能够知道函数 F(x) ?不需要多想我们就能写出符合要求的函数,即 F(x)=x2 。更进一步,添加一个常数不会改变导数结果,所以下面的所有函数
x2+1,x23,x2+5π
或者更一般地
x2+c
其中 c 是常数,都会满足性质(1)。还存在其他的答案吗?答案是没有了。

这个答案的理由出自下面的原则:

如果F(x),G(x)是两个函数,并且有相同的导数 f(x) ,那么 G(x),F(x) 只相差一个常数,也就是说,存在一个常数 c ,使得

G(x)=F(x)+c
该结果对区间上的所有 x 均成立。

为了明白为什么这个命题是正确的,我们注意到在区间上G(x)F(x)的导数为零

ddx[G(x)F(x)]=ddxG(x)ddxF(x)=f(x)f(x)=0
这个差本身肯定是一个常数值 c ,所以
G(x)F(x)=corG(x)=F(x)+c
这就是我们想要建立的内容。

这个原则告诉我们等式 (1) 解的形式肯定是 x2+c

刚刚讨论的问题涉及到寻找一个函数,而该函数导数是已知的。如果 f(x) 是已知的,那么函数 F(x) 使得

ddxF(x)=f(x)(2)
叫做 f(x) 的反导,从 f(x) 寻找 F(x) 的过程是求导逆过程。我们已经看到 f(x) 的反导并非是唯一确定的,但是如果我们能够找到一个 F(x) ,那么所有其他的形式就是
F(x)+c
例如, 13x3 x2 的一个反导,那么所有 x2 反导的可能形式为
13x3+c

因为历史原因, f(x) 的反导通常叫做 f(x) 的积分,反微分叫做积分。 f(x) 积分的标准符号为

f(x)dx(3)
读作 f(x)dx 的积分。等式
f(x)dx=F(x)
完全等价于 (2) 。函数 f(x) 叫做被积函数。 (3) 中细长的 S 符号叫做积分符号,最早由莱布尼兹引入。

为了说明这一点,我们注意到公式

x2dx=13x3andx2dx=13x3+c(4)
都是正确的,但是第一个只给出了一个积分,第二个给出了所有可能的情况。正因为此,积分 (3) 经常被叫做不定积分,这是相对于定积分而言的(注:关于定积分会在后续的文章里详细介绍)。 (4) 中第二个公式里的常数 c 叫做积分常数,经常引用为任意常数。之前讨论过,为了找到函数f(x)的所有积分,首先找到一个积分比较有效,然后在末尾添加一个任意常数。

我们之前计算过得所有导数下载都可以反过来,重写成积分的形式。例如,对于幂函数

ddxxn=nxn1becomesnxn1dx=xn
更加方便的版本是
ddxxn+1n+1=xn
它的积分形式为(最好记住它)
xndx=xn+1n+1,n1(5)
总结:对幂函数积分,就是指数加1后除以新的指数。

例1:求积分:

x3dx=x44=14x4,x572dx=x573573=1573x573dxx5=x5dx=x44=14x4xdx=x1/2dx=x3/232=23x3/2

读者应该注意到,当 n=1 时, (5) 的右边分母变为零,因此没有意义。这时候

dxx
的积分是微积分中最重要的一部分,有广泛的应用。后续的文章会详细介绍。

下面附加的积分规则是个变相版本

cf(x)dx=cf(x)dx(6)
以及
[f(x)+g(x)]dx=f(x)dx+g(x)dx(7)
第一个说明常数因子可以从积分号的一边移到另一边。注意这只会适用于常数,不适用于变量
x2dxxxdx
左右两边分别是 13x3,x12x2=12x3 。公式 (7) 是说和的积分就是各项分别积分的和。对任何有限项均成立。

为了证实 (6),(7) ,注意到他们等价于微分形式

ddxcF(x)=cddxF(x)
以及
ddx[F(x)+G(x)]=ddxF(x)+ddxG(x)
其中 (d/dx)F(x)=f(x),(d/dx)G(x)=g(x)

例2:将规则 (5),(6),(7) 组合起来,我们可以积分任何多项式。例如

(3x4+6x2)dx=3x4dx+6x2dx=35x5+2x3+c
以及
(52x5+3x11)dx=5dx2x5dx+3x11dx=5x13x6+14x12+c
观察可以发现 dx=1dx=x 。每个计算中都在某位添加了一个任意常数,保证包含了所有可能的积分。

例3:我们也能积分许多非多项式的,例如幂函数的线性组合:

x23=x2/3dx=35x5/3+c
2x3x22x2dx5x1/32x1/3xdx=(2x12x2)dx=x2x+2x+c=(5x1/62x5/6)dx=66x5/612x1/6+c

公式

undu=un+1n+1,n=1(8)
(5) 只有一点区别,就是 x u替换掉了。然而,我们将 u 看做x的某个函数 f(x) u 的微分为du,这样的话
u=f(x)
以及
du=f(x)dx
(8) 就变为
[f(x)n]f(x)dx=[f(x)]n+1n+1,n1(9)
这是 (5) 更一般的泛化。

例4:实际中,我们通常显示地改变变量来使用这个想法,从而将一个复杂的积分变成如 (8) 那样简单的形式。例如

(3x21)1/34xdx
我们注意到括号内的积分为 6xdx ,与 4xdx 只相差一个常数因子,所以我们写为
uduxdx=3x2+1=6xdx=16du

这个方法叫做换元法,因为它通过替换或改变变量来简化问题。正如公式 (9) 那样,该方法之所以成功取决去存在一个积分,被积函数的一部分实质上是另一部分的导数(当然除了常数因子外)。

注解1:例4的积分是有意构造出来似的换元法有效。为了说明这一点,观察一个类似的积分

(3x21)1/3dx(10)
形式上看着比例4要简单,实际上却是更加复杂了,因为积分项缺少重要的因子 x 。如果我们尝试用之前提到的换元法,我们将得到
(3x21)1/3dx=u1/3du6x
分母中的 x 无法消掉。后面的文章我们会讲到其他方法来解决这种问题,但是目前我们无法继续做下去。

注解2:许多人试图将(10)写成

(3x21)1/3dx=(3x21)4/34/3=34(3x21)4/3+c(11)
这是不对的。为了理解为何错误,回顾一下计算积分的时候,我们总是简单的验证结果,如果我们对 f(x) 的积分有所怀疑时,通过计算它的导数看是否等于 f(x) 来进行验证。很明显 (11) 不满足,因为右边的导数是
3443(3x21)1/36x=(3x21)1/36x
确实不是 (10) 的积分项。

最后, sin,cos 函数的导数形式可以得出下面的积分形式:

cosudu=sinu+c(12)
以及
sinudu=cosu+c(13)
这些都是许多应用的有力工具,从概率论到声波的传播。

例5 (a) 求积分

cos3xdx
观察 (12) ,我们看出利用 u=3x 使得 du=3dx,dx=13du ,然后我们可以写出
cos3xdx=cosu13du=13cosudu=13sinu+c=13sin3x+c
(b) 求积分
xsin(1x2)dx
我们利用 u=1x2 使得 du=2x,xdx=12du ,然后利用 (13)
xsin(1x2)dx=sinu(12du)=12sinudu=12cosu+c=12cos(1x2)+c

注解3:从例4和例5中可以看到微分符号在用换元法计算不定积分时极其有用。这个方法对许多学生而言就像一种魔术。为了理解为何它是合法的(数学中不允许有魔术),将积分形式应用到该方法有效的积分上

f[g(x)]g(x)dx(14)
我们需要做的就是使 u=g(x) ,那么 du=g(x)dx 。现在 (14) 可以重新写成
f[g(x)]g(x)dx=f(u)du
如果我们对它进行积分,则
f(u)du=F(u)+c
或者
F(u)=f(u)
然后因为 u=g(x) (14) 可以写成
f[g(x)]g(x)dx=f(u)du=F(u)+c=F[g(x)]+c(15)
证明这个过程的一切就是观察到 (15) 是正确的答案,因为利用链式法则
ddxF[g(x)]=F[g(x)]g(x)=f[g(x)]g(x)
链式法则让我们可以利用符号 dx,du

最后,给出换元法的基本流程:

  1. 认真选择 u ,也就是u=g(x)
  2. 计算 du=g(x)dx
  3. 换元 g(x)=u,g(x)dx=du 。这时候积分必须只是关于 u 的项,不能存在x。如果不满足,那么重新选择 u
  4. 计算步骤3中的积分
  5. g(x)替换 u ,得到全部关于x的结果

这篇关于漫步微积分二十一——不定积分和换元法的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!



http://www.chinasem.cn/article/970813

相关文章

微积分-积分应用5.4(功)

术语“功”在日常语言中用来表示完成一项任务所需的总努力量。在物理学中,它有一个依赖于“力”概念的技术含义。直观上,你可以将力理解为对物体的推或拉——例如,一个书本在桌面上的水平推动,或者地球对球的向下拉力。一般来说,如果一个物体沿着一条直线运动,位置函数为 s ( t ) s(t) s(t),那么物体上的力 F F F(与运动方向相同)由牛顿第二运动定律给出,等于物体的质量 m m m 与其

微积分直觉:隐含微分

目录 一、介绍 二、梯子问题 三、结论 四、一个额外的例子 一、介绍         让我们想象一个半径为 5 的圆,以 xy 平面为中心。现在假设我们想在点 (3,4) 处找到一条切线到圆的斜率。         好吧,为了做到这一点,我们必须非常接近圆和切线之间的空间,并沿着该曲线迈出一小步。该步骤的 y 分量为 dy,x 分量为

HDU 1428 漫步校园 (搜索 + dp)

OJ题目:click here ~~ 题意分析:题目中有句话“他考虑从A区域到B区域仅当存在一条从B到机房的路线比任何一条从A到机房的路线更近(否则可能永远都到不了机房了…)。”,关键是对这句话的理解。此刻在A区域,选择下面要走的B区域的条件是,存在一条B区域到机房的路线比A区域到机房的所有路线都近,也就是说,存在一条B区域到机房的路线比A区域到机房的最短路线更近(比最短的近

Flink实战案例(二十一):自定义时间和窗口的操作符(二)KeyedProcessFunction(二)

KeyedProcessFunction   KeyedProcessFunction用来操作KeyedStream。KeyedProcessFunction会处理流的每一个元素,输出为0个、1个或者多个元素。所有的Process Function都继承自RichFunction接口,所以都有open()、close()和getRuntimeContext()等方法。而KeyedProces

Flink实战(113):flink-sql使用(二十一)Flink SQL FileSystem Connector分区提交与自定义小文件合并策略

1 Prologue 之前笔者在介绍Flink 1.11 Hive Streaming新特性时提到过,Flink SQL的FileSystem Connector为了与Flink-Hive集成的大环境适配,做了很多改进,而其中最为明显的就是分区提交(partition commit)机制。本文先通过源码简单过一下分区提交机制的两个要素——即触发(trigger)和策略(policy)的实现,

【硬刚ES】ES基础(二十一) 单字符串多字段查询:Multi Match

本文是对《【硬刚大数据之学习路线篇】从零到大数据专家的学习指南(全面升级版)》的ES部分补充。

分数阶微积分MATLAB计算

习题1 syms t z;Gam=int(exp(-t)*t^(z-1),t,0,inf);I1=subs(Gam,z,sym(1/2)),I2=subs(Gam,z,sym(3/2)),I3=subs(Gam,z,sym(5/2)),I4=subs(Gam,z,sym(7/2))

二十一、oracle pl/sql分类一 存储过程

存储过程用于执行特定的操作,当建立存储过程时,既可以指定输入参数(in),也可以指定输出参数(out),通过在过程中使用输入参数,可以将数据传递到执行部分;通过使用输出参数,可以将执行部分的数据传递到应用环境。在sqlplus中可以使用create procedure命令来建立过程。 实例如下: 1.请考虑编写一个存储过程,可以输入雇员名,新工资,用来修改雇员的工资 --根据雇员名去修改

学习记录:js算法(二十一):字符串的排列、替换后的最长重复字符

文章目录 字符串的排列我的思路网上思路 替换后的最长重复字符我的思路网上思路 总结 字符串的排列 给你两个字符串 s1 和 s2 ,写一个函数来判断 s2 是否包含 s1 的排列。如果是,返回 true ;否则,返回 false 。 换句话说,s1 的排列之一是 s2 的 子串 。 示例 1:输入:s1 = "ab" s2 = "eidbaooo"输出:true解

前端宝典二十一:前端异步编程规范手写Promise、async、await

本文主要探讨前端异步编程的处理方式、处理场景,并且手写Promise的全家桶,介绍async、await方法使用 一、异步处理方式有: 1. 回调函数 function fetchDate(callback) {setTimeout(() => {const date = new Date();callback(date);}, 1000); }fetchDate((function