本文主要是介绍漫步微积分二十一——不定积分和换元法,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!
如果 y = F ( x ) 是导数已知的函数,例如
d d x F ( x ) = 2 x (1)
我们能够知道函数
F ( x ) ?不需要多想我们就能写出符合要求的函数,即
F ( x ) = x 2 。更进一步,添加一个常数不会改变导数结果,所以下面的所有函数
x 2 + 1 , x 2 − 3 √ , x 2 + 5 π
或者更一般地
x 2 + c
其中
c 是常数,都会满足性质(1)。还存在其他的答案吗?答案是没有了。
这个答案的理由出自下面的原则:
如果F ( x ) , G ( x ) 是两个函数,并且有相同的导数
f ( x ) ,那么
G ( x ) , F ( x ) 只相差一个常数,也就是说,存在一个常数
c ,使得
G ( x ) = F ( x ) + c
该结果对区间上的所有 x 均成立。
为了明白为什么这个命题是正确的,我们注意到在区间上G ( x ) − F ( x ) 的导数为零
d d x [ G ( x ) − F ( x ) ] = d d x G ( x ) − d d x F ( x ) = f ( x ) − f ( x ) = 0
这个差本身肯定是一个常数值
c ,所以
G ( x ) − F ( x ) = c o r G ( x ) = F ( x ) + c
这就是我们想要建立的内容。
这个原则告诉我们等式 ( 1 ) 解的形式肯定是 x 2 + c 。
刚刚讨论的问题涉及到寻找一个函数,而该函数导数是已知的。如果 f ( x ) 是已知的,那么函数 F ( x ) 使得
d d x F ( x ) = f ( x ) (2)
叫做
f ( x ) 的反导,从
f ( x ) 寻找
F ( x ) 的过程是求导逆过程。我们已经看到
f ( x ) 的反导并非是唯一确定的,但是如果我们能够找到一个
F ( x ) ,那么所有其他的形式就是
F ( x ) + c
例如,
1 3 x 3 是
x 2 的一个反导,那么所有
x 2 反导的可能形式为
1 3 x 3 + c
因为历史原因, f ( x ) 的反导通常叫做 f ( x ) 的积分,反微分叫做积分。 f ( x ) 积分的标准符号为
∫ f ( x ) d x (3)
读作
f ( x ) d x 的积分。等式
∫ f ( x ) d x = F ( x )
完全等价于
( 2 ) 。函数
f ( x ) 叫做被积函数。
( 3 ) 中细长的
S 符号叫做积分符号,最早由莱布尼兹引入。
为了说明这一点,我们注意到公式
∫ x 2 d x = 1 3 x 3 a n d ∫ x 2 d x = 1 3 x 3 + c (4)
都是正确的,但是第一个只给出了一个积分,第二个给出了所有可能的情况。正因为此,积分
( 3 ) 经常被叫做不定积分,这是相对于定积分而言的(注:关于定积分会在后续的文章里详细介绍)。
( 4 ) 中第二个公式里的常数
c 叫做积分常数,经常引用为任意常数。之前讨论过,为了找到函数
f ( x ) 的所有积分,首先找到一个积分比较有效,然后在末尾添加一个任意常数。
我们之前计算过得所有导数下载都可以反过来,重写成积分的形式。例如,对于幂函数
d d x x n = n x n − 1 b e c o m e s ∫ n x n − 1 d x = x n
更加方便的版本是
d d x x n + 1 n + 1 = x n
它的积分形式为(最好记住它)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 , n ≠ − 1 (5)
总结:对幂函数积分,就是指数加1后除以新的指数。
例1 :求积分:
∫ x 3 d x = x 4 4 = 1 4 x 4 , ∫ x 572 d x = x 573 573 = 1 573 x 573 ∫ d x x 5 = ∫ x − 5 d x = x − 4 − 4 = − 1 4 x 4 ∫ x √ d x = ∫ x 1 / 2 d x = x 3 / 2 3 2 = 2 3 x 3 / 2
读者应该注意到,当 n = − 1 时, ( 5 ) 的右边分母变为零,因此没有意义。这时候
∫ d x x
的积分是微积分中最重要的一部分,有广泛的应用。后续的文章会详细介绍。
下面附加的积分规则是个变相版本
∫ c f ( x ) d x = c ∫ f ( x ) d x (6)
以及
∫ [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = ∫ f ( x ) d x + ∫ g ( x ) d x (7)
第一个说明常数因子可以从积分号的一边移到另一边。注意这只会适用于常数,不适用于变量
∫ x 2 d x ≠ x ∫ x d x
左右两边分别是
1 3 x 3 , x ⋅ 1 2 x 2 = 1 2 x 3 。公式
( 7 ) 是说和的积分就是各项分别积分的和。对任何有限项均成立。
为了证实 ( 6 ) , ( 7 ) ,注意到他们等价于微分形式
d d x c F ( x ) = c d d x F ( x )
以及
d d x [ F ( x ) + G ( x ) ] = d d x F ( x ) + d d x G ( x )
其中
( d / d x ) F ( x ) = f ( x ) , ( d / d x ) G ( x ) = g ( x )
例2 :将规则 ( 5 ) , ( 6 ) , ( 7 ) 组合起来,我们可以积分任何多项式。例如
∫ ( 3 x 4 + 6 x 2 ) d x = 3 ∫ x 4 d x + 6 ∫ x 2 d x = 3 5 x 5 + 2 x 3 + c
以及
∫ ( 5 − 2 x 5 + 3 x 1 1 ) d x = 5 ∫ d x − 2 ∫ x 5 d x + 3 ∫ x 11 d x = 5 x − 1 3 x 6 + 1 4 x 12 + c
观察可以发现
∫ d x = ∫ 1 d x = x 。每个计算中都在某位添加了一个任意常数,保证包含了所有可能的积分。
例3 :我们也能积分许多非多项式的,例如幂函数的线性组合:
∫ x 2 − − √ 3 = ∫ x 2 / 3 d x = 3 5 x 5 / 3 + c
∫ 2 x 3 − x 2 − 2 x 2 d x ∫ 5 x 1 / 3 − 2 x − 1 / 3 x √ d x = ∫ ( 2 x − 1 − 2 x − 2 ) d x = x 2 − x + 2 x + c = ∫ ( 5 x − 1 / 6 − 2 x 5 / 6 ) d x = 66 x 5 / 6 − 12 x 1 / 6 + c
公式
∫ u n d u = u n + 1 n + 1 , n ≠= − 1 (8)
与
( 5 ) 只有一点区别,就是
x 被
u 替换掉了。然而,我们将
u 看做
x 的某个函数
f ( x ) ,
u 的微分为
d u ,这样的话
u = f ( x )
以及
d u = f ′ ( x ) d x
( 8 ) 就变为
∫ [ f ( x ) n ] f ′ ( x ) d x = [ f ( x ) ] n + 1 n + 1 , n ≠ − 1 (9)
这是
( 5 ) 更一般的泛化。
例4 :实际中,我们通常显示地改变变量来使用这个想法,从而将一个复杂的积分变成如 ( 8 ) 那样简单的形式。例如
∫ ( 3 x 2 − 1 ) 1 / 3 4 x d x
我们注意到括号内的积分为
6 x d x ,与
4 x d x 只相差一个常数因子,所以我们写为
u d u x d x = 3 x 2 + 1 = 6 x d x = 1 6 d u
这个方法叫做换元法,因为它通过替换或改变变量来简化问题。正如公式 ( 9 ) 那样,该方法之所以成功取决去存在一个积分,被积函数的一部分实质上是另一部分的导数(当然除了常数因子外)。
注解1 :例4的积分是有意构造出来似的换元法有效。为了说明这一点,观察一个类似的积分
∫ ( 3 x 2 − 1 ) 1 / 3 d x (10)
形式上看着比例4要简单,实际上却是更加复杂了,因为积分项缺少重要的因子
x 。如果我们尝试用之前提到的换元法,我们将得到
∫ ( 3 x 2 − 1 ) 1 / 3 d x = ∫ u 1 / 3 ⋅ d u 6 x
分母中的
x 无法消掉。后面的文章我们会讲到其他方法来解决这种问题,但是目前我们无法继续做下去。
注解2 :许多人试图将( 10 ) 写成
∫ ( 3 x 2 − 1 ) 1 / 3 d x = ( 3 x 2 − 1 ) 4 / 3 4 / 3 = 3 4 ( 3 x 2 − 1 ) 4 / 3 + c (11)
这是不对的。为了理解为何错误,回顾一下计算积分的时候,我们总是简单的验证结果,如果我们对
f ( x ) 的积分有所怀疑时,通过计算它的导数看是否等于
f ( x ) 来进行验证。很明显
( 11 ) 不满足,因为右边的导数是
3 4 ⋅ 4 3 ( 3 x 2 − 1 ) 1 / 3 ⋅ 6 x = ( 3 x 2 − 1 ) 1 / 3 6 x
确实不是
( 10 ) 的积分项。
最后, sin , cos 函数的导数形式可以得出下面的积分形式:
∫ cos u d u = sin u + c (12)
以及
∫ sin u d u = − cos u + c (13)
这些都是许多应用的有力工具,从概率论到声波的传播。
例5 : ( a ) 求积分
∫ cos 3 x d x
观察
( 12 ) ,我们看出利用
u = 3 x 使得
d u = 3 d x , d x = 1 3 d u ,然后我们可以写出
∫ cos 3 x d x = ∫ cos u ⋅ 1 3 d u = 1 3 ∫ cos u d u = 1 3 sin u + c = 1 3 sin 3 x + c
( b ) 求积分
∫ x sin ( 1 − x 2 ) d x
我们利用
u = 1 − x 2 使得
d u = − 2 x , x d x = − 1 2 d u ,然后利用
( 13 ) :
∫ x sin ( 1 − x 2 ) d x = ∫ sin u ⋅ ( − 1 2 d u ) = − 1 2 ∫ sin u d u = 1 2 cos u + c = 1 2 cos ( 1 − x 2 ) + c
注解3 :从例4和例5中可以看到微分符号在用换元法计算不定积分时极其有用。这个方法对许多学生而言就像一种魔术。为了理解为何它是合法的(数学中不允许有魔术),将积分形式应用到该方法有效的积分上
∫ f [ g ( x ) ] g ′ ( x ) d x (14)
我们需要做的就是使
u = g ( x ) ,那么
d u = g ′ ( x ) d x 。现在
( 14 ) 可以重新写成
∫ f [ g ( x ) ] g ′ ( x ) d x = ∫ f ( u ) d u
如果我们对它进行积分,则
∫ f ( u ) d u = F ( u ) + c
或者
F ′ ( u ) = f ( u )
然后因为
u = g ( x ) ,
( 14 ) 可以写成
∫ f [ g ( x ) ] g ′ ( x ) d x = ∫ f ( u ) d u = F ( u ) + c = F [ g ( x ) ] + c (15)
证明这个过程的一切就是观察到
( 15 ) 是正确的答案,因为利用链式法则
d d x F [ g ( x ) ] = F ′ [ g ( x ) ] g ′ ( x ) = f [ g ( x ) ] g ′ ( x )
链式法则让我们可以利用符号
d x , d u 。
最后,给出换元法的基本流程:
认真选择 u ,也就是u = g ( x ) 计算 d u = g ′ ( x ) d x 换元 g ( x ) = u , g ′ ( x ) d x = d u 。这时候积分必须只是关于 u 的项,不能存在x 。如果不满足,那么重新选择 u
计算步骤3中的积分
用g ( x ) 替换 u ,得到全部关于x 的结果
这篇关于漫步微积分二十一——不定积分和换元法的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!