本文主要是介绍漫步微积分四——导数的定义,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!
从几何上考虑,我们利用上一篇博文中的(8),并丢掉下标 x0 ,就得到导数的基本定义:给定任意函数 f(x) ,导数 f′(x) 是新的函数,在点 x 处的值定义为
我们知道
图1
实际上形成导数 f′(x) 的过程称为给定函数 f(x) 的微分。这是微积分的基本运算,其他一切依赖于此。原则上,我们遵循(1)中指定的计算说明。这些说明可以整理为一个系统的过程,叫做三步法。
第一步:写出函数的差 f(x+Δx)−f(x) 。
第二步:除以 Δx 得到差商的形式
大部分问题只涉及分子分母消去 Δx
第三步:估计 Δx→0 时的极限值。如果第二步已经完成了,那么该步可以作为简单的检查。
如果我们记得符号 f(x) 几乎包含了所有可以想象到的函数,那么我们将了解到这些步骤有时容易,有时很难。下面的示例只涉及初等代数,但即使如此,还是需要一点知识和技巧。
例1:对函数 f(x)=x3 求 f′(x)
第一步:
第二步:
第三步:
例2:对函数 f(x)=1/x 求 f′(x)
第一步:
第二步:
第三步:
让我们简要地分析一下例2的结果告诉了我们哪些关于函数 y=f(x)=1/x 图像的信息。首先,多所有 x≠0 f′(x)=−1/x2 为负值,而且由于这是切线的斜率,所有切线斜向右下方。更进一步,当 x 接近
例3:对函数 f(x)=x√ 求 f′(x)
第一步:
第二步:
这种形式不方便取消 Δx ,所以我们用一个巧妙的代数技巧去除分子中的平方根。分子和分母均乘以 x+Δx−−−−−−√+x√ ,这就相当于分数乘以 1 ,然后我们使用代数式
现在第三步就容易了。
第三步:
符号的一些说明
微积分有个令人困惑的特点,就是几个不同的符号都可以用来表示微分,符号的使用带有某种偏好,通过环境来选择相应的符号。可能有人会问,使用这些符号有什么问题吗?事实是,问题很大,好的符号可以铺平道路,为我们做许多工作,而不好的类似于沼泽,很难轻松移动。
函数 f(x) 的导数上文表示为 f′(x) 。这个符号的优点在于强调 f(x) 的导数是关于 x 的另一个函数,它与给定函数以某种方式关联起来。如果我们给出的函数形式为
用这种符号来表示导数最大的缺点是它没有显示出 f(x) 得到 f′(x) 过程。从这个层面考虑莱布尼兹设计的符号更好,当然在其他方面也不错。
下面解释莱布尼兹的符号,对一个函数 y=f(x) ,它的差商形式
可以记为
其中 Δy=f(x+Δx)−f(x) 。 Δy 不是 y 的一个任意变化量;而是
这就是图2中割线的斜率。 dy/dx 有两种不同的等价形式
对第二种形式,可以将 d/dx 看作一个运算,对函数 f(x) 运算得到它的导数 f′(x)
图2
有一点非常重要,(2)中 dy/dx 是一个不可分割的符号。尽管书写形式上看可以,但是它不是平常意义上的两个变量 dy 与 dx 的商,因为他们没有定义,而且无法单独存在。在莱布尼兹的符号中,(2)中右边的极限形式象征性的用 Δ 来代替字母 d 。从这个角度来说,导数的符号
这个符号虽然好,但时也不完美。例如,加入我们要写出某个点的导数值,像 x=3 。因为 dy/dx 没有像 f′(x) 那样很方便的显示变量 x ,我们不得不用些难看的符号
清晰明了的符号 f′(3) 明显比笨拙的表达时要占优势。
正如我们所看到的,上面的每种表达式各有各的优点。他们都广泛应用于科学和数学文献中,为了彻底熟悉他们,我们应该经常使用并且在他们之间自由的转换。
这篇关于漫步微积分四——导数的定义的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!