漫步数学分析十一—

本文主要是介绍漫步数学分析十一——紧集，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

在给出 $R^n$ 中紧集的精确定义前，我们需要介绍一些术语。对于集合 $A\subset R^n$ ，当且仅当存在一个常数 $M\geq0$ 使得 $A\subset D(0,M)$ ，那么就称该集合是有界的(bounded)，所以一个集合被邻域原点的某个邻域 $D(0,M)$ 包住时，它就是有界的；换句话说，对于所有的 $x\in A,\Vert x\Vert<M$ 。集合 $A$ 的一个覆盖(cover)就是一系列集合 ${U_i}$ ，他们的并包含 $A$ ；如果每个 $U_i$ 是开的，那么我们称其为开覆盖(open cover)。给定覆盖的一个子覆盖(subcover) 是集合的子系列，他们的并也包含 $A$ 或者说覆盖 $A$ ；如果这个子系列只包含有限个集合，那么我们成其为有限子覆盖(finite subcover)。例如 $R^2$ 中的邻域 $\{D((x,0),1|x\in R)\}$ 覆盖实数轴，并且所有圆心为整数的邻域 $D((n,0),1)$ 是一个子系列，它是一个子覆盖。注意，圆心为偶数的邻域 $D((n,0),1)$ 不是一个子覆盖。

注意：开覆盖不一定是可数个开集。

我们现在陈述主要的定理以及相关的定义。

$\textbf{定理1}$ 令 $A\subset R^n$ ，那么下面的条件是等价的：

$A$ 是闭的且有界。
$A$ 的每个开覆盖有一个有限的子覆盖。
$A$ 中的每个序列都有一个收敛的子序列，且收敛到 $A$ 中的点。

$\textbf{定义1}$ $R^n$ 中满足定理1中条件 $\textrm{(i),(ii),(iii)}$ 的子集称为紧集(compact)。

$\textrm{(i),(ii)}$ 的等价性经常被称为海涅-博雷尔(Heine-Borel)定理，而 $\textrm{(i),(iii)}$ 的等价性经常被称为波尔查诺-魏尔斯特拉斯(Bolzano-Weierstrass)定理。

注意：对于度量空间，一般而言 $\textrm{(ii),(iii)}$ 是等价的，当时 $\textrm{(i)}$ 不等价于 $\textrm{(ii),(iii)}$ ；对于任意的度量空间，我们可以用 $\textrm{(ii)}$ 或 $\textrm{(iii)}$ 来定义紧集。 $\textrm{(i)},\textrm{(ii)}$ 和 $\textrm{(i)},\textrm{(iii)}$ 的等价性是 $R^n$ 的特殊性质。

波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理直观上也比较好理解，如果 $A$ 是有界的，那么 $A$ 中的任何点序列在某个地方是一簇的，如果 $A$ 是闭的，那么簇拥的点必须位于 $A$ 中。

海涅-博雷尔定理直观上不太明显，也许理解它最好的方式是考虑某些例子。

$\textbf{例1：}$ 整个实数轴 $R$ 不是紧的，因为它是无界的。注意

{D (n, 1) = (n - 1, n + 1) | n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots}

$\{D(n,1)=(n-1,n+1)|n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots\}$
是

R $R$ 的开覆盖但没有有限开覆盖。

$\textbf{例2：}$ 令 $A=(0,1]$ ，考虑开覆盖 $\{(1/n,2)|n=1,2,3,\ldots\}$ 。他们有开子覆盖。这一次因为 $A$ 不是闭的，所以条件 $\textrm{(ii)}$ 失败；点0不在集合 $A$ 中。这个系列不是 $[0,1]$ 的覆盖并且任何 $[0,1]$ 的开覆盖必须有有限个开覆盖-上面的情况不可能存在这样的结论。

条件 $\textrm{(iii)}$ 还有一个等价的表述，在某些情况下是非常有用的。

$\textrm{(iii)}^{'}$ 对于 $A$ 的每个无限子集，他们的聚点都在 $A$ 中。

我们可以用闭集的方式来论述条件 $\textrm{(ii)}$ ，这需要借助于 $A$ 有限交的属性，我们说集合 ${A_i}$ 有有限交的性质(finite intersection property)，当且仅当任意有限个 $A_i$ 的交不为空，那么 $\textrm{(ii)}$ 就等价于 $\textrm{(ii)}^{'}$ 。

$\textrm{(ii)}^{'}$ 所有满足有限交性质的一系列闭集都有一个包含 $A$ 的非空交集。

我们会在附3的证明中看到，当 $\textrm{(ii)}$ 用开覆盖的补表示时， $\textrm{(ii)}^{'}$ 与 $\textrm{(ii)}$ 的陈述是一样的。

$\textbf{例3：}$ 确定下面集合的紧性

(a) $\{x\in R|x\geq0\}$
(b) $[0,1]\cup[2,3]$
(c) $\{(x,y)\in R^2|x^2+y^2<1\}$

$\textbf{解：}$ (a)不是紧集，因为它不是有界的。(b)紧集，因为它是闭集且有界。(c)不是紧集，因为它不是闭的。

$\textbf{例4：}$ 令 $x_k$ 是 $R^n$ 中的点列且对所有的 $k,\Vert x_k\Vert\leq 3$ ，说明 $x_k$ 有一个收敛的子序列。

$\textbf{解：}$ 集合 $A=\{x\in R^n|\Vert x\Vert\leq3\}$ 是闭的且有界，因此是紧集。因为 $x_k\in A$ ，我们应用定理1 $\textrm{(iii)}$ 即可得出结论。

$\textbf{例5：}$ 在定理1 $\textrm{(ii)}$ 中，条件每个可以替换成某些吗？

$\textbf{解：}$ 不能。令 $A=R$ 并且考虑由单个开集 $R$ 组成的开覆盖，显然它有一个有限的子覆盖，也就是它本身，当时 $R$ 是无界的，也就是说不是紧的。

$\textbf{例6：}$ 令 $A=\{0\}\cup\{1,1/2,\ldots,1/n,\ldots\}$ ，说明定理1的条件 $\textrm{(ii)}$ 满足。

$\textbf{解：}$ 令 $\{U_i\}$ 是 $A$ 的任意一个开覆盖，我们不惜说明它有一个有限的子覆盖。0位于某个开集中，我们说 $0\in U_1$ ，因为 $U_1$ 是开集且 $1/n\to 0$ ，存在一个 $N$ 使得 $1/N,1/(N+1),\ldots$ 位于 $U_1$ 中，令 $1\in U_2,\ldots,1/(N-1)\in U_N$ ，那么 $U_1,\ldots,U_N$ 是一个有限的子覆盖，因为它是 ${U_i}$ 的一个有限子系列并且它包含 $A$ 的所有点。注意如果 $A$ 是集合 ${1,1/2,\ldots}$ ，那么上面的论述就失效了。