在给出 Rn R^n中紧集的精确定义前，我们需要介绍一些术语。对于集合 A⊂Rn A\subset R^n，当且仅当存在一个常数 M≥0 M\geq0使得 A⊂D(0,M) A\subset D(0,M)，那么就称该集合是有界的(bounded)，所以一个集合被邻域原点的某个邻域 D(0,M) D(0,M)包住时，它就是有界的；换句话说，对于所有的 x∈A,∥x∥<M x\in A,\Vert x

现在我们证明连续实值函数的一个重要性质，即有界定理。有界定理表明连续函数在紧集上是有界的并且在集合上的某些点取得最大值与最小值，准确的描述放到定理5中。 为了理解上面的结论，我们考虑非紧集上函数会发生什么情况。首先，连续函数不一定是有界的，图 ??? \ref{fig:4-5} 给出的是开区间 (0,1) (0,1) 上的函数 f(x)=1/x f(x)=1/x，随着 x x越来越靠近0，函数变