斐波那契数列及青蛙跳台阶问题

2024-05-08 09:38

本文主要是介绍斐波那契数列及青蛙跳台阶问题,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

题目1:

写一个函数,输入n,求斐波那契(Fibonacci)数列的第n项。

斐波那契(Fibonacci)数列定义如下:

f(n)=0,1,f(n1)+f(n2),n=0n=1n>2

效率很低的解法:

  1. 递归解法(效率很低)
long long Fibonacci_Solution1(unsigned int n)
{if(n <= 0)return 0;if(n == 1)return 1;return Fibonacci_Solution1(n - 1) + Fibonacci_Solution1(n - 2);
}

2 循环解法:改进的算法:从下往上计算。首先根据f(0)和f(1)算出f(2),再根据f(1)和f(2)算出f(3)。。。。。依此类推就可以算出第n项了。很容易理解,这种思路的时间复杂度是o(n)。实现代码如下:

long long Fibonacci(unsigned n)
{int result[2] = {0 , 1};if(n < 2)return result[n];long long fibMinusOne = 1;long long fibMinusTwo = 0;for(unsigned int i = 2 ; i <= n ; ++i){fibN = fibMinusOne + fibMinusTwo;fibMinusTwo = fibMinusOne;fibMinusOne = fibN;}return fibN;
}

题目2:

 一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

可以把n级台阶时的跳法看成是n的函数,记为f(n)。当n>2时,第一次跳的时候就有两种不同的选择:一是第一次只跳1级,此时跳法数目等于后面剩下的n-1级台阶的跳法数目,即为f(n-1);另一种选择是第一次跳2级,此时跳法数目等于后面剩下n-2级台阶的跳法数目,即为f(n-2)。因此,n级台阶的不同跳法的总数f(n)=f(n-1)+f(n-2)。分析到这里,不难看出这实际上就是斐波那契数列了。

与斐波那契数列不同的是,其初始值定义稍有不同,
当n=1时,只能跳一级台阶,一种跳法
当n=2时,一次跳一级或两级,两种跳法
所以,关于青蛙跳台阶的定义如下:

f(n)=1,2,f(n1)+f(n2),n=1n=2n>2

  1. 非递归写法
long long FrogJump12Step(int n)
{if (n <= 0){std::cerr << "param error" << std::endl;return -1;}if (n == 1)return 1;if (n == 2)return 2;int frogNMinusOne = 2;//f(n-1)=2int frogNMinusTwo = 1;//f(n-2)=1int frogN = 0;for (unsigned int i = 3; i <= n;++i){frogN = frogNMinusOne + frogNMinusTwo;frogNMinusTwo = frogNMinusOne;frogNMinusOne = frogN;}return frogN;
}
  1. 递归解法
long long FrogJump12StepRecursive(int n)
{if (n <= 0){std::cerr << "param error" << std::endl;return -1;}if (n == 1)return 1;if (n == 2)return 2;return FrogJump12StepRecursive(n - 1) + FrogJump12StepRecursive(n - 2);
}

题目3:

  一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级。。。。。它也可以跳上n级,此时该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法?

用数学归纳法可以证明: f(n)=2n1 .

递归式证明:
当n = 1 时, 只有一种跳法,即1阶跳:Fib(1) = 1;
当n = 2 时, 有两种跳的方式,一阶跳和二阶跳:Fib(2) = Fib(1) + Fib(0) = 2;
当n = 3 时,有三种跳的方式,第一次跳出一阶后,后面还有Fib(3-1)中跳法; 第一次跳出二阶后,后面还有Fib(3-2)中跳法;第一次跳出三阶后,后面还有Fib(3-3)中跳法
Fib(3) = Fib(2) + Fib(1)+Fib(0)=4;
当n = n 时,共有n种跳的方式,第一次跳出一阶后,后面还有Fib(n-1)中跳法; 第一次跳出二阶后,后面还有Fib(n-2)中跳法……………………..第一次跳出n阶后, 后面还有 Fib(n-n)中跳法.
Fib(n) = Fib(n-1)+Fib(n-2)+Fib(n-3)+……….+Fib(n-n)=Fib(0)+Fib(1)+Fib(2)+…….+Fib(n-1)
又因为Fib(n-1)=Fib(0)+Fib(1)+Fib(2)+…….+Fib(n-2)
两式相减得:Fib(n)-Fib(n-1)=Fib(n-1)
=====》 Fib(n) = 2*Fib(n-1) n >= 2
递归等式如下:

f(n)=1,2,2f(n1),n=1n=2n>2

所以: f(n)=2f(n1)=22(n2)....=2n1f(0)=2n1

  1. 非递归解法:
long long FrogJump12nStep(int n)
{if (n <= 0){std::cerr << "param error" << std::endl;return -1;}else if (n == 1)return 1;else{long long  fn1 = 1;long long fn = 0;for (int i = 2; i <= n;++i){fn = 2 * fn1;fn1 = fn;}return fn;}
}
  1. 递归解法
long long FrogJump12nStepRecursive(int n)
{if (n <= 0){std::cerr << "param error" << std::endl;return -1;}else if (n == 1)return 1;else if (n == 2)return 2;elsereturn 2 * FrogJump12nStepRecursive(n - 1);
}

题目4:

小矩形覆盖大矩形,用2*1的小矩形横着或竖着去覆盖各大矩形。

思路:设题解为f(n),

第一步:若第一块矩形竖着放,后边还有n-1个2*1矩形,即此种情况下,有f(n-1)种覆盖方法。
第二部:若第一块横着放,后边还有n-2个2*1矩形,此种情况下,有f(n-2)种覆盖方法。
第三部:可得 f(n)=f(n-1)+f(n-2)

可知,此题可以转化为其斐波那契数列第n项的值。

这篇关于斐波那契数列及青蛙跳台阶问题的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!



http://www.chinasem.cn/article/969977

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