已知田字形的2*2的格子里面有9个矩形(包含正方形),问N*N的格子有多少个矩形?

2024-05-07 18:18

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思路:从点开始,矩形有什么特征?一个矩形必须是四个点组成吧,而且角必须是90度。那么两个点组成一条边吧,好的。那么以3*3为例,最上边的横1边,总共可以确定C(2,4)种情况下的横边,然后上边确定了,确定与其垂直的竖边,此时可以有几种选择方法?

大家注意,此时竖边只有三种情况,就是他的长度,分别是长度为一,长度为2,长度为3的竖边,因为必须要保持垂直的关系,竖边没有其他选择,只能是这三种情况。那么此时是C(1,3)种情况。

那么以此类推,当横边取最上边的第2条边横2 边时,还是C(2,4)种情况,此时,竖边只有C(1,2),,在列举横3边时,竖边只有一种长度为一的情况了,因此综上所述

总共有多少个矩形呢?

Numbers=C(2,4)*[C(1,3)+C(1,2)+C(1,1)]=36

2*2情况是:

Numbers=C(2,3)*[C(1,2)+C(1,1)]=9

推广到N*N的情况是

Numbers=C(2,N+1) * [C(1,N)+C(1,N-1)+C(1,N-2)+......+C(1,1)]



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