最大似然估计（通俗讲解）

本文主要是介绍最大似然估计（通俗讲解），希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

1 最大似然估计（MLE）原理

我们不妨先从名字入手进行理解，最大似然估计的英文名称是 maximum likelihood estimation 即最大可能性估计
它的主要作用是利用已知的样本结果，反推最有可能（最大概率）导致这样结果的参数值。
当“模型已定，参数未知”时，通过若干次试验，观察其结果，利用试验结果得到某个参数值能够使样本出现的概率为最大，则称为极大似然估计。
上面这段话参考文章 补数学基础之高斯分布——极大似然估计

下面是 维基百科 给出的解释：

给定一个概率分布 $f_D$ ，以及一个分布参数 $\theta$ ，然后从这个分布中抽出一个具有 $n$ 个值的采样 $X_1,\cdots ,X_n$，利用 $f_D$ 计算出其似然函数：
$$L(\theta |x_1,\cdots ,x_n)=f_{\theta }(x_1,\cdots ,x_n).$$
若 $D$ 是离散分布，$f_{\theta }$ 即是在参数为 $\theta$ 时观测到这一采样的概率；若其是连续分布， $f_{\theta }$ 则为 $X_1,\cdots ,X_n$ 联合分布的概率密度函数在观测值处的取值。也就是只要有数据 $X_1,\cdots ,X_n$，就能求出一个 $\theta$ 的估计。最大似然估计是找到最适合这个数据的分布 $D$ 的参数 $\theta$ （即在所有可能的 $\theta$ 取值中，寻找一个值使这个采样的“可能性”最大化）。从数学上来说，可以在 $\theta$ 的所有可能取值中寻找一个值使得似然函数取到最大值。而这个可能性最大的 $\hat{\theta }$ 值即为 $\theta$ 的最大似然估计 。由此不难看出，最大似然估计实际上是样本的函数。

我们不妨做这样一个思想实验：

设甲箱中有99个白球，1个黑球；
乙箱中有1个白球．99个黑球。
现随机取出一箱，再从抽取的一箱中随机取出一球。

这个球的颜色无非两种情况：白球或者黑球。
我们不妨直观的想象一下，倘若抽到的球是黑球，它最有可能来自于哪个箱子；倘若抽到的球是白球呢？

显然，因为黑球从乙箱抽取的概率比从甲箱抽取的概率大得多，倘若抽到的是黑球，这时我们自然更多地相信这个黑球是取自乙箱的；反之取自甲箱。

一般说来，事件A发生的概率与某一未知参数 $\theta$ 有关， $\theta$ 取值不同，则事件A发生的概率 $P(A|\theta )$ 也不同，当在一次试验中事件A发生了，则认为此时的 $\theta$ 值应是 $\theta$ 的一切可能取值中使 $P(A|\theta )$ 达到最大的那一个，极大似然估计法就是要选取这样的 $\theta$ 值作为参数 $\theta$ 的估计值，使所选取的样本在被选的总体中出现的可能性为最大。

我的理解是模型已知，参数未知，然后根据样本数据找到一个参数使得样本更加符合这个模型，那在概率分布上也就是使得样本出自于这个分布的概率最大喽。

我们不妨举下面这样一个例子：

假设从箱子里取出 5 个球，分别为 黄、黄、红、黄、红，根据这个结果估计箱子黄球和红球的比例。
我们可以试着用上面的极大似然估计的思想求解，来感受一下这个思想。
我们要找一个比例，使得这个比例最大可能产生我们抽取的这个结果。
不妨设黄球比例是 $p$ ，则红球比例就是 $1-p$ ，随机变量为 $x$。
很显然这是一个 $0-1$ 分布, 根据样本数据来估计这个比例。
易知抽出的 5 个球的概率分别是 $ p 、p 、1 - p 、p 、1 - p$
那么似然函数即为
$$L(p)=p\cdot p\cdot (1-p)\cdot p\cdot (1-p)=p^3(1-p{)}^2$$显然不同的 $L(p)$ 是关于 $p$ 的函数。然后就是求导求极值了。
由于似然函数是乘积形式，不容易求导。因此利用对数似然函数进行参数估计：
$$\ln L(p)=\sum _{i=1}^5\ln p(x_i|p)$$其中 $\ln p(x_i|p)$ 表示当黄球比例为 $p$ 时第 $i$ 个随机实验的概率。
则 $$\begin{gathered} \ln L(p)=3\ln p+2\ln (1-p) \\ {\nabla }_p\ln L(p)=\frac{3}{p}-\frac{2}{1-p}=0 \end{gathered}$$
得 $p=\frac{3}{5}$

有读者可能会有这样得疑问，梯度为零是函数取得极值的必要条件，这能保证该唯一驻点一定是最大值吗？？？
是的，可以，因为常用的概率分布是指数分布族，而指数分布族可以保证似然函数是凹函数，凹函数的唯一驻点必是最大值。 感兴趣的读者可以自行去了解。

2. 例子

2.1 高斯分布

假设 $D^j$ 中样本是根据正态分布 $\mathcal{N}(\mu ,\Sigma )$ 采样得到的，其中参数$\mu$ 为均值向量，$\Sigma$ 为协方差矩阵，样本数据为 $d$ 维，样本数据为 X = { x 1 , ⋯ , x n } ∈ R n × d X = \{x_1,\cdots,x_n\} \in R^{n \times d} X={x1​,⋯,xn​}∈Rn×d
则有似然函数 $L(\mathbf{\mu },\mathbf{\Sigma })={\prod }_{i=1}^{n}p({\mathbf{x}}_i|\mathbf{\mu },\mathbf{\Sigma })$
求解过程：

• 写出似然函数$L(\mathbf{\mu },\mathbf{\Sigma })={\prod }_{i=1}^{n}p({\mathbf{x}}_i|\mathbf{\mu },\mathbf{\Sigma })$
• 写出对数似然函数 $\ln L(\mathbf{\mu },\mathbf{\Sigma })$
• 对 $\ln L(\mathbf{\mu },\mathbf{\Sigma })$ 分别关于 $\mathbf{\mu },\mathbf{\Sigma }$ 求梯度，令其为零。最后估计 $\hat{\mathbf{\mu }},\hat{\mathbf{\Sigma }}$

即$$\begin{gathered} L(\mathbf{\mu },\mathbf{\Sigma })={\left(\frac{1}{(2\pi {)}^{\frac{d}{2}}|\mathbf{\Sigma }{|}^{\frac{1}{2}}}\right)}^n\exp \left[-\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n({\mathbf{x}}_i-\mathbf{\mu }{)}^{\top }{\mathbf{\Sigma }}^{-1}({\mathbf{x}}_i-\mathbf{\mu })\right] \\ \ln L(\mathbf{\mu },\mathbf{\Sigma })=-\frac{dn}{2}\ln 2\pi -\frac{n}{2}\ln |\mathbf{\Sigma }|-\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n({\mathbf{x}}_i-\mathbf{\mu }{)}^{⊺}{\mathbf{\Sigma }}^{-1}({\mathbf{x}}_i-\mathbf{\mu }) \end{gathered}$$令
$$\begin{gathered} {\nabla }_{\mu }\ln L(\mu ,\Sigma )=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^{n}2{\mathbf{\Sigma }}^{-1}({\mathbf{x}}_i-\mathbf{\mu })=0 \\ L(\mathbf{\mu },\mathbf{\Sigma })=-\frac{n}{2}({\mathbf{\Sigma }}^{-1}{)}^{\top }+\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n{\mathbf{\Sigma }}^{-\top }({\mathbf{x}}_i-\mathbf{\mu })({\mathbf{x}}_i-\mathbf{\mu }{)}^{\top }{\mathbf{\Sigma }}^{-\top }=0 \end{gathered}$$解得
$$\begin{gathered} \hat{\mathbf{\mu }}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\mathbf{x}}_i \\ \hat{\mathbf{\Sigma }}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n({\mathbf{x}}_i-\hat{\mathbf{\mu }}{)}^{\top }({\mathbf{x}}_i-\hat{\mathbf{\mu }}) \end{gathered}$$

这里涉及到一些矩阵求导：
$$\frac{\partial a^{T}Xb}{\partial X}=a{b}^T,\frac{\partial a^{T}Xb}{\partial X}=a{b}^T,\frac{\partial \ln |X|}{\partial X}={\left(X^{-1}\right)}^T$$

2.2 伯努利分布

假设 $D^j$ 中样本是根据 $Bernoulli(\theta )$ 分布采样得到的， 即 $p(x|\theta )={\theta }^x(1-\theta {)}^{1-x}，其中x=0或1，0\le \theta \le 1。$ 用 $MLE$ 对 $\theta$ 进行估计。
求解过程：

• 写出似然函数$L(\theta )={\prod }_{i=1}^{n}p(x_i|\theta )={\theta }^{{\sum }_{i=1}^n{x}_i}(1-\theta {)}^{{\sum }_{i=1}^n(1-x_i)}$
• 写出对数似然函数 $\ln L(\theta )=({\sum }_{i=1}^n{x}_i)\ln \theta +({\sum }_{i=1}^n(1-x_i))\ln (1-\theta )$
• 对 $\ln L(\theta )$ 分别关于 $\theta$ 求导数，令其为零。

最后不难得到：
$$\hat{\theta }=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$

3. 总结

最大似然估计是找到最适合这个数据的分布 $D$ 的参数 $\theta$ （即在所有可能的 $\theta$ 取值中，寻找一个值使这个采样的“可能性”最大化）。从数学上来说，可以在 $\theta$ 的所有可能取值中寻找一个值使得似然函数取到最大值。而这个可能性最大的 $\hat{\theta }$ 值即为 $\theta$ 的最大似然估计 。最大似然估计实际上是样本的函数。

笔者能力有限，遂分享自此，倘若大佬发现错误，敬请批评指正；倘若大佬有更加通俗易懂的理解方式，欢迎交流😁！

4. 参考

1. MLE from 百度百科
2. MLE from wikipedia
3. 补数学基础之高斯分布——极大似然估计

这篇关于最大似然估计（通俗讲解）的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

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