本文主要是介绍【动态规划】Leetcode 279. 完全平方数【中等】,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!
完全平方数
给你一个整数 n ,返回 和为 n 的完全平方数的最少数量 。
完全平方数 是一个整数,其值等于另一个整数的平方;换句话说,其值等于一个整数自乘的积。例如,1、4、9 和 16 都是完全平方数,而 3 和 11 不是。
示例 1:
输入:n = 12
输出:3
解释:12 = 4 + 4 + 4
解题思路
- 1、使用动态规划求解,定义一个一维数组dp,其中dp[i]表示和为i的完全平方数的最少数量。
- 2、初始化数组dp,长度为n + 1,全部初始化为最大值,dp[0]为0。
- 3、对于每个数字i,遍历从1到sqrt(i)的完全平方数j*j,更新dp[i]为dp[i - j * j] + 1和dp[i]中的较小值。
动态规划的状态转移方程为: -
这个方程的意思是,如果当前的数 i 可以由 j * j 和 i - j * j 组成,那么 dp[i] 就可以通过 dp[i - j * j] + 1 来更新,即将 j * j 加入到和为 i 的完全平方数的组合中。dp[i] = min(dp[i], dp[i - j * j] + 1),其中 1 <= j * j <= i
- 4、最终返回dp[n]即可。
Java实现
public class PerfectSquares {public int numSquares(int n) {int[] dp = new int[n + 1];Arrays.fill(dp, Integer.MAX_VALUE);dp[0] = 0;/*** 首先,定义一个数组 dp[],其中 dp[i] 表示组成数值 i 的最小平方数数量。** 然后,通过两层循环遍历所有可能的数值 i,从 1 到 n。** 内层循环中,对于当前数值 i,我们尝试找到组成它的最小平方数数量。* 我们遍历所有小于等于 i 的平方数,记为 j * j,并更新 dp[i] 的值为* dp[i - j * j] + 1 的最小值。也就是说,我们找到了一个平方数 j * j,* 并尝试用它去更新 i 的最小平方数数量,看是否可以得到更优的解。** 最终,当外层循环结束时,dp[n] 中存储的就是组成数值 n 的最小平方数数量。* 这种解法的核心思想是利用动态规划的思想,* 通过计算子问题的最优解来构建更大规模问题的最优解。* 通过从小到大的顺序计算所有可能的数值 i,我们可以确保在计算 dp[i] 时,* dp[i - j * j] 已经计算过了,并且存储了正确的结果,* 从而确保每个状态的最优解被正确计算出来。*/for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j * j <= i; j++) {dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - j * j] + 1);}}return dp[n];}public static void main(String[] args) {PerfectSquares ps = new PerfectSquares();int n = 12;System.out.println("Minimum number of perfect squares: " +ps.numSquares(n)); // Output: 3 (12 = 4 + 4 + 4)}
}
时间空间复杂度
-
时间复杂度:外层循环遍历了n次,内层循环遍历了sqrt(n)次,时间复杂度为O(n * sqrt(n))。
-
空间复杂度:使用了长度为n + 1的数组dp,空间复杂度为O(n)。
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