本文主要是介绍数学分析复习：中值定理、反函数定理，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
文章目录
- 中值定理
- 反函数定理
本篇文章适合个人复习翻阅，不建议新手入门使用
中值定理
定理：Rolle（罗尔）中值定理
设实值函数 f ∈ C 0 [ a , b ] f\in C^0[a,b] f∈C0[a,b] 且在 ( a , b ) (a,b) (a,b) 上可微，若 f ( a ) = f ( b ) f(a)=f(b) f(a)=f(b)，则存在 x 0 ∈ ( a , b ) x_0\in(a,b) x0∈(a,b)，使得 f ′ ( x 0 ) = 0 f'(x_0)=0 f′(x0)=0
证明
设 f f f 非常值函数，设 x 0 x_0 x0 是 f ( x ) f(x) f(x) 的最大值，则 f ′ ( x 0 ) = 0 f'(x_0)=0 f′(x0)=0
定理：Lagrange（拉格朗日）中值定理
设实值函数 f ∈ C 0 [ a , b ] f\in C^0[a,b] f∈C0[a,b] 且在 ( a , b ) (a,b) (a,b) 上可微，则存在 x 0 ∈ ( a , b ) x_0\in(a,b) x0∈(a,b)，使得 f ′ ( x 0 ) = f ( b ) − f ( a ) b − a f'(x_0)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} f′(x0)=b−af(b)−f(a)
证明思路
构造辅助函数 g ( x ) = f ( x ) − f ( b ) − f ( a ) b − a ( x − a ) g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) g(x)=f(x)−b−af(b)−f(a)(x−a) 以及Rolle中值定理可得
反函数定理
定理：反函数定理
设开区间 I ⊂ R I\subset \mathbb{R} I⊂R， f ∈ C 1 ( I ; R ) f\in C^1(I;\mathbb{R}) f∈C1(I;R)，即连续可微的实值函数，若 f ′ ( x 0 ) ≠ 0 f'(x_0)\neq 0 f′(x0)=0，那么 f f f 在 x 0 x_0 x0 的一个邻域内是 C 1 C^1 C1 同胚，即 f f f 在 x 0 x_0 x0 的某邻域内是有连续逆的双射
证明思路
不妨设 f ′ ( x 0 ) > 0 f'(x_0)>0 f′(x0)>0，则在 x 0 x_0 x0 附近 f ′ ( x 0 ) > 0 f'(x_0)>0 f′(x0)>0，则 f f f 严格单调递增，则 f − 1 f^{-1} f−1 存在且可微，又
( f − 1 ) ′ ( y ) = 1 f ′ ( f − 1 ( y ) ) (f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))} (f−1)′(y)=f′(f−1(y))1 说明 f − 1 f^{-1} f−1 连续可微
推论
上述定理若进一步要求 f f f 是光滑的（即无限次可微），则 f − 1 f^{-1} f−1 也光滑
参考书：
- 《数学分析》陈纪修 於崇华 金路
- 《数学分析之课程讲义》清华大学数学系及丘成桐数学中心
- 《数学分析习题课讲义》谢惠民 恽自求 易法槐 钱定边 著
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