BZOJ1010: [HNOI2008]玩具装箱toy(斜率优化dp)

2024-04-16 01:58

本文主要是介绍BZOJ1010: [HNOI2008]玩具装箱toy(斜率优化dp),希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

Description
  P教授要去看奥运,但是他舍不下他的玩具,于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压
缩,其可以将任意物品变成一堆,再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1…N的N件玩具,第i件玩具经过
压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理,P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容
器中有多个玩具,那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物,形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一
个容器中,那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关,根据教授研究,
如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目,他可以制作出任意长度的容
器,甚至超过L。但他希望费用最小.

Input
  第一行输入两个整数N,L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

Output
  输出最小费用

Sample Input
5 4

3

4

2

1

4
Sample Output
1
HINT
Source

参考题解:https://blog.csdn.net/qq_38944163/article/details/91369545
思路:
d p [ i ] = m i n ( d p [ j ] + ( s u m [ i ] − s u m [ j ] + i − j − 1 − L ) 2 ) dp[i] = min(dp[j] + (sum[i] - sum[j] + i - j - 1 - L)^2) dp[i]=min(dp[j]+(sum[i]sum[j]+ij1L)2)
a [ i ] = s u m [ i ] + i ; b [ i ] = s u m [ i ] + i + L + 1 a[i] = sum[i] + i; b[i] = sum[i] + i + L + 1 a[i]=sum[i]+i;b[i]=sum[i]+i+L+1
x ( i ) = b [ i ] , y ( i ) = d p [ i ] + b [ i ] ∗ b [ i ] x(i) = b[i], y(i) = dp[i] + b[i] * b[i] x(i)=b[i],y(i)=dp[i]+b[i]b[i]

最后变形为
d p [ j ] + b [ j ] ∗ b [ j ] = 2 ∗ a [ i ] ∗ b [ j ] + d p [ i ] − a [ i ] ∗ a [ i ] . dp[j] + b[j] * b[j] = 2 * a[i] * b[j] + dp[i] - a[i] * a[i]. dp[j]+b[j]b[j]=2a[i]b[j]+dp[i]a[i]a[i].
也即 y ( j ) = 2 ∗ a [ i ] ∗ x ( j ) + d p [ i ] − a [ i ] ∗ a [ i ] 。 y(j) = 2*a[i] * x(j) + dp[i] - a[i] * a[i]。 y(j)=2a[i]x(j)+dp[i]a[i]a[i]
令斜率k等于 2 ∗ a [ i ] , 截 距 b = d p [ i ] − a [ i ] ∗ a [ i ] 。 2 * a[i], 截距b = dp[i] - a[i] * a[i]。 2a[i],b=dp[i]a[i]a[i]

目的是dp[i]最小,类似线性规划,你有一条直线,和一堆点(以前算过的j点),那么就是寻找一个j点使得截距最小。

这样就是用单调队列维护一个下凸包(U型),只有最外层对应下凸包的点才有意义,选这里面的点才能保证斜率最低。

队首两点斜率小于2 * a[i],那就去掉队首,因为直线肯定不会交到队首。剩下的那个点就是与直线相交的点

q[r]和q[r-1]的斜率大于q[i]和q[r]的斜率,意味着这里凹进去了,肯定选不到r这个点,出队尾。

维护下凸包的意义在于,截距尽可能小的候选点只在这之间。

需要注意的是:算斜率的时候要保证凸包里面至少两个点,且0点一开始就有。

#include <cstdio>
#include <cstring>using namespace std;typedef long long ll;
const int maxn = 5e4 + 7;
int q[maxn];
ll n,L;
ll sum[maxn],dp[maxn];double a(ll i){return sum[i] + i;}
double b(ll i){return sum[i] + i + L + 1;}
double x(ll i){return b(i);}
double y(ll i){return dp[i] + b(i) * b(i);}
double slope(ll i,ll j){return (y(i) - y(j)) / (x(i) - x(j));}void IN()
{scanf("%lld%lld",&n,&L);for(int i = 1;i <= n;i++)scanf("%lld",&sum[i]);for(int i = 1;i <= n;i++)sum[i] += sum[i - 1];
}void DP()
{int l = 1,r = 1;for(int i = 1;i <= n;i++){while(l < r && slope(q[l],q[l + 1]) < 2 * a(i))l++;int j = q[l];dp[i] = dp[j] + (a(i) - b(j)) * (a(i) - b(j));while(l < r && slope(q[r],q[r - 1]) > slope(i,q[r]))r--;q[++r] = i;}printf("%lld\n",dp[n]);
}int main()
{IN();DP();return 0;
}

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