收藏 | 神经网络的 5 种常见求导，附详细的公式过程

本文主要是介绍收藏 | 神经网络的 5 种常见求导，附详细的公式过程，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

来源：机器学习与生成对抗网络
本文约1800字，建议阅读5分钟 
本文为你介绍5种常见求导的详细过程！

01 derivative of softmax

1.1 derivative of softmax

一般来说，分类模型的最后一层都是softmax层，假设我们有一个分类问题，那对应的softmax层结构如下图所示（一般认为输出的结果即为输入属于第i类的概率）：

假设给定训练集，分类模型的目标是最大化对数似然函数。

通常来说，我们采取的优化方法都是gradient based的（e.g., SGD），也就是说，需要求解。而我们只要求得，之后根据链式法则，就可以求得，因此我们的核心在于求解。

由上式可知，我们只需要知道各个样本的，即可通过求和求得，进而通过链式法则求得。因此下面省略样本下标j，仅讨论某个样本。

实际上对于如何表示属于第几个类，有两种比较直观的方法：

一种是直接法（i.e., 用来表示x属于第3类），则，其中为指示函数；
另一种是one-hot法（i.e., 用来表示x属于第三类），则，其中为向量的第个元素。
p.s., 也可以将one-hot法理解为直接法的实现形式，因为one-hot向量实际上就是。

为了方便，本文采用one-hot法。于是，我们有：

1.2 softmax & sigmoid

再补充一下softmax与sigmoid的联系。当分类问题是二分类的时候，我们一般使用sigmoid function作为输出层，表示输入属于第1类的概率。

然后利用概率和为1来求解属于第2类的概率，即

乍一看会觉得用sigmoid做二分类跟用softmax做二分类不一样：

在用softmax时，output的维数跟类的数量一致，而用sigmoid时，output的维数比类的数量少；
在用softmax时，各类的概率表达式跟sigmoid中的表达式不相同。

但实际上，用sigmoid做二分类跟用softmax做二分类是等价的。我们可以让sigmoid的output维数跟类的数量一致，并且在形式上逼近softmax。

通过上述变化，sigmoid跟softmax已经很相似了，只不过sigmoid的input的第二个元素恒等于0（i.e., intput为），而softmax的input为，下面就来说明这两者存在一个mapping的关系（i.e., 每一个都可以找到一个对应的来表示相同的softmax结果。不过值得注意的是，反过来并不成立，也就是说并不是每个仅仅对应一个）。

因此，用sigmoid做二分类跟用softmax做二分类是等价的。

02 backpropagation

一般来说，在train一个神经网络时（i.e., 更新网络的参数），我们都需要loss function对各参数的gradient，backpropagation就是求解gradient的一种方法。

假设我们有一个如上图所示的神经网络，我们想求损失函数对的gradient，那么根据链式法则，我们有

而我们可以很容易得到上述式子右边的第二项，因为，所以有

其中，是上层的输出。

而对于式子右边的的第一项，可以进一步拆分得到

我们很容易得到上式右边第二项，因为，而激活函数（e.g., sigmoid function）是我们自己定义的，所以有

，

其中，是本层的线性输出（未经激活函数）。

观察上图，我们根据链式法则可以得到

其中，根据可知

和的值是已知的，因此，我们离目标仅差和了。接下来我们采用动态规划（或者说递归）的思路，假设下一层的和是已知的，那么我们只需要最后一层的graident，就可以求得各层的gradient了。而通过softmax的例子，我们知道最后一层的gradient确实可求，因此只要从最后一层开始，逐层向前，即可求得各层gradient。

因此我们求的过程实际上对应下图所示的神经网络（原神经网络的反向神经网络）：