Sweet Snippet 系列之 扩展欧几里得算法

本文主要是介绍Sweet Snippet 系列之 扩展欧几里得算法，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

扩展欧几里得算法的简单实现

扩展欧几里得算法是欧几里得算法(辗转相除法)的扩展,欧几里得算法可以用于求解两个自然数(记为 $a$ 和 $b$)的最大公约数,而扩展欧几里得算法不仅可以求出 $a$ 和 $b$ 的最大公约数,还能同时计算出两个整数 $x$ 和 $y$, 使它们满足等式(等式中的 $gcd(a,b)$ 即表示 $a$ 和 $b$ 的最大公约数):

$$ax+by=gcd(a,b)$$

说到算法步骤的话,扩展欧几里得算法其实是逆向运用了欧几里得算法(辗转相除法)的中间结果,有兴趣的朋友可以看看 wiki 上的计算案例,在此我们简单推导一下用于计算 $x$ 和 $y$ 的递推公式,以方便我们编写代码:

首先是基础条件($b=0$ 的情况)

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& gcd(a,0)=a\\ & a\ast 1+0\ast any=gcd(a,0)=a=>\end{array} \\ \{\begin{array}{rl}& x=1\\ & y=0\end{array} \end{gathered}$$

当 $b=0$ 的情况下,我们取 $gcd(a,0)=a$, 此时 $x=1$, $y$ 为任意值 都可满足之前的等式,简单起见,我们取 $x=1,y=0$.

现在我们知道基础条件下 $x$ 和 $y$ 的取值了,我们看看如何递推求解下一步的 $x$ 和 $y$:

a x + b y = g c d ( a , b ) b x ′ + ( a % b ) y ′ = g c d ( b , a % b ) ∵ g c d ( a , b ) = g c d ( b , a % b ) ∴ a x + b y = b x ′ + ( a % b ) y ′ = b x ′ + ( a − ⌊ a / b ⌋ b ) y ′ = a y ′ + b ( x ′ − ⌊ a / b ⌋ y ′ ) = > { x = y ′ y = x ′ − ⌊ a / b ⌋ y ′ \begin{aligned} & ax + by = gcd(a, b) \\ & bx' + (a \% b)y' = gcd(b, a \% b) \\ & \because gcd(a, b) = gcd(b, a \% b) \\ & \therefore ax + by = bx' + (a \% b)y' = \\ & bx' + (a - \lfloor a / b \rfloor b)y' = ay' + b(x' - \lfloor a / b \rfloor y') => \end{aligned} \\ \left\{ \begin{aligned} & x = y' \\ & y = x' - \lfloor a / b \rfloor y' \end{aligned} \right. ​ax+by=gcd(a,b)bx′+(a%b)y′=gcd(b,a%b)∵gcd(a,b)=gcd(b,a%b)∴ax+by=bx′+(a%b)y′=bx′+(a−⌊a/b⌋b)y′=ay′+b(x′−⌊a/b⌋y′)=>​{​x=y′y=x′−⌊a/b⌋y′​

以上便是 $x$ 和 $y$ 的递推公式了,有了递推公式,代码就一目了然了(Lua):

-- return { r, x, y }
function gcd_ex(a, b)if b == 0 then-- base conditionreturn { r = a, x = 1, y = 0 }else-- recursion operationlocal ret = gcd_ex(b, a % b)local t = ret.xret.x = ret.yret.y = t - a // b * ret.yreturn retend
end

借助之前的辅助代码,我们就可以简单做测试了:

-- SimplePrintToString is from the previous post
function dump(tbl, depth)return SimplePrintToString(tbl, depth)
endprint(dump(gcd_ex(47, 30)))

参考资料

• wiki
• Sweet Snippet系列之 Print Lua Table

这篇关于Sweet Snippet 系列之 扩展欧几里得算法的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

---