2024年第十四届 Mathorcup高校数学建模竞赛（D题）| 矿山设备配置及运营 | 0-1整数规划，QUBO模型 | 数学建模完整代码+建模过程全解全析

本文主要是介绍2024年第十四届 Mathorcup高校数学建模竞赛（D题）| 矿山设备配置及运营 | 0-1整数规划，QUBO模型 | 数学建模完整代码+建模过程全解全析，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

当大家面临着复杂的数学建模问题时，你是否曾经感到茫然无措？作为2022年美国大学生数学建模比赛的O奖得主，我为大家提供了一套优秀的解题思路，让你轻松应对各种难题。

让我们来看看Mathorcup (D题）！

CS团队倾注了大量时间和心血，深入挖掘解决方案。通过01整数规划 QUBO模型等算法，设计了明晰的项目，团队努力体现在每个步骤，确保方案既创新又可行，为大家提供了全面而深入的洞见噢～

完整内容可以在文章末尾领取！

第一个问题是如何根据给定的工作量、机型斗容、效率、油耗和价格等因素，设计出一套最优的设备配置及运营方案，包括合理采购、分配和使用挖掘机、矿车等重要资源，以提高智慧矿山的竞争力。

首先，根据题目给出的数据，我们可以得到四种挖掘机的参数表、三种矿车的参数表、挖掘机和矿车匹配关系表、长期利润折现表和已购买的矿车和挖掘机数量表。我们需要根据这些数据，建立一个数学模型，来求解最优的设备配置及运营方案。

假设智慧矿山的运营时间为5年，采购设备的启动资金为2400万元，油价为7元/升，矿石价格为20元/立方米。为了简化模型，假设挖掘机和矿车的使用寿命为5年，且不考虑挖掘机的使用寿命对模型的影响。

我们需要考虑的目标是最大化5年内的总利润，即最大化收益与各种成本的差值。因此，我们可以用以下公式来表示总利润：

$$T=\sum _{t=1}^5({\text{收益}}_t-{\text{成本}}_t)$$

其中，$t$表示第$t$年，${\text{收益}}_t$表示第$t$年的收益，${\text{成本}}_t$表示第$t$年的总成本。

收益可以通过挖掘机和矿车的作业量来表示，即每年从矿山中挖出的矿石的总量。假设每年的作业时间为20天，每天工作8小时，挖掘机和矿车的匹配关系满足表7中的规定，那么每年的作业量可以表示为：

$${\text{作业量}}_t=\sum _{i=1}^4\sum _{j=1}^3({\text{挖掘机}}_i\cdot {\text{作业效率}}_i\cdot {\text{矿车}}_j\cdot {\text{装载量}}_j)$$

其中，${\text{挖掘机}}_i$表示第$i$种类型的挖掘机的数量，${\text{作业效率}}_i$表示第$i$种类型的挖掘机的作业效率，${\text{矿车}}_j$表示第$j$种类型的矿车的数量，${\text{装载量}}_j$表示第$j$种类型的矿车的装载量。

接下来，我们需要考虑各种成本，包括挖掘机和矿车的购买成本、人工成本和维护成本。假设挖掘机和矿车的购买成本已经在启动资金中考虑过，因此我们只需要考虑人工成本和维护成本。每年的人工成本可以表示为：

$${\text{人工成本}}_t=\sum _{i=1}^4({\text{挖掘机}}_i\cdot {\text{人工成本}}_i+{\text{矿车}}_i\cdot {\text{人工成本}}_i)$$

其中，${\text{人工成本}}_i$表示第$i$种类型的挖掘机和矿车的人工成本。

每年的维护成本可以表示为：

$${\text{维护成本}}_t=\sum _{i=1}^4({\text{挖掘机}}_i\cdot {\text{维护成本}}_i+{\text{矿车}}_i\cdot {\text{维护成本}}_i)$$

其中，

根据给定的工作量、机型斗容、效率、油耗和价格等因素，我们可以将智慧矿山的设备配置与运营方案设计问题转化为一个优化问题。

首先，我们可以定义一个目标函数，即最大化总利润，其数学表达式为：

$$\underset{x_{ij}}{\max }\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m(p_{ij}\cdot c_{ij}-(s_{ij}+l_{ij}+g_{ij}+h_{ij}))\cdot x_{ij}$$

其中，$x_{ij}$表示采购第$i$种挖掘机和第$j$种矿车的数量，$p_{ij}$表示第$i$种挖掘机和第$j$种矿车的单位价格，$c_{ij}$表示挖掘机和矿车匹配关系，即当给第$i$种挖掘机分配第$j$种矿车时，每天的作业量为标准作业量的$c_{ij}$倍。$s_{ij}$表示第$i$种挖掘机和第$j$种矿车的人工成本，$l_{ij}$表示第$i$种挖掘机和第$j$种矿车的维护成本，$g_{ij}$表示第$i$种挖掘机和第$j$种矿车的油耗成本，$h_{ij}$表示第$i$种挖掘机和第$j$种矿车的购买成本。

然后，我们需要考虑的约束条件包括：

1. 挖掘机和矿车的匹配关系：根据题目中的场景设定，我们可以将挖掘机和矿车的匹配关系用一个二维矩阵来表示，如表7所示。假设这个矩阵为$A$，则我们可以得到以下约束条件：

$$\sum _{i=1}^n{A}_{ij}\cdot x_{ij}\ge c_j,\forall j=1,2,...,m$$

其中，$c_j$表示第$j$种矿车所需的最小挖掘机数量。

2. 挖掘机和矿车的数量约束：根据题目中的场景设定，我们可以得到以下约束条件：

$$\sum _{i=1}^n{x}_{ij}\le d_j,\forall j=1,2,...,m$$

其中，$d_j$表示第$j$种矿车可用的最大挖掘机数量。

3. 预算约束：根据题目中的场景设定，我们可以得到以下约束条件：

$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m(p_{ij}+h_{ij})\cdot x_{ij}\le B$$

其中，$B$表示可用的预算金额。

4. 挖掘机型号数量约束：根据题目中的场景设定，我们可以得到以下约束条件：

$$\sum _{j=1}^m{x}_{ij}\ge 1,\forall i=1,2,...,n$$

即整体包含的挖掘机型号不能少于$n$种。

综合以上约束条件，我们可以建立一个QUBO模型，通过求解该模型，可以得到在预算范围内最大化总利润的采购方案，即需要采购的挖掘机型号和对应的数量。

假设该项目规模为N，其中包括需要采购的挖掘机和矿车的数量，占比分别为$N_1$和$N_2$。设挖掘机和矿车的购买价格分别为$P_1$和$P_2$，油耗为$F_1$和$F_2$，挖掘机和矿车的作业效率分别为$E_1$和$E_2$，人工成本为$C_1$和$C_2$，维护成本为$M_1$和$M_2$。矿石价格为$S$，油价为$O$。

首先，我们定义两个变量$x_i$和$y_j$，分别表示第$i$种挖掘机和第$j$种矿车的数量。则总成本可以表示为：

$$C=P_1\sum _{i=1}^{N_1}{x}_i+P_2\sum _{j=1}^{N_2}{y}_j+O\sum _{i=1}^{N_1}{F}_1{x}_i+O\sum _{j=1}^{N_2}{F}_2{y}_j+C_1\sum _{i=1}^{N_1}{x}_i+C_2\sum _{j=1}^{N_2}{y}_j+M_1\sum _{i=1}^{N_1}{x}_i+M_2\sum _{j=1}^{N_2}{y}_j$$

其次，我们定义两个变量$e_i$和$f_j$，分别表示第$i$种挖掘机和第$j$种矿车的作业效率和装载量。则总收益可以表示为：

$$S=S\sum _{i=1}^{N_1}{e}_i{x}_i+S\sum _{j=1}^{N_2}{f}_j{y}_j$$

综合考虑成本和收益，我们可以得到总的目标函数为：

$$max(S-C)$$

同时，我们需要考虑以下约束条件：

1. 起始资金不超过2400万元：${\sum }_{i=1}^{N_1}{P}_1{x}_i+{\sum }_{j=1}^{N_2}{P}_2{y}_j\le 2400$

2. 作业时间不超过5年：$20\times 8\times 20\times {\sum }_{i=1}^{N_1}{E}_1{x}_i+20\times 8\times 20\times {\sum }_{j=1}^{N_2}{F}_2{y}_j\le 5$

3. 挖掘机和矿车的匹配关系：${\sum }_{j=1}^{N_2}{f}_j{y}_j\ge {\sum }_{i=1}^{N_1}{e}_i{x}_i$

4. 挖掘机和矿车的匹配关系：${\sum }_{i=1}^{N_1}{f}_i{x}_i\le {\sum }_{j=1}^{N_2}{e}_j{y}_j$

5. 挖掘机和矿车的匹配关系：${\sum }_{i=1}^{N_1}{e}_i{x}_i\le {\sum }_{j=1}^{N_2}{f}_j{y}_j$

6. 挖掘机和矿车的匹配关系：${\sum }_{j=1}^{N_2}{e}_j{y}_j\ge {\sum }_{i=1}^{N_1}{f}_i{x}_i$

7. 起始资金不超过2400万元：${\sum }_{i=1}^{N_1}{P}_1{x}_i+{\sum }_{j=1}^{N_2}{P}_2{y}_j\le 2400$

8. 整体包含的挖掘机型号不能少于3

# 导入所需的库
import numpy as np
from dimod import BinaryQuadraticModel
from dwave.system import LeapHybridSampler
from dwave.system.composites.singlethreaded import EmbeddingComposite
from dwave_qbsolv import QBSolv
# 定义问题参数
# 挖掘机斗容：不同类型挖掘机的斗容大小（立方米）
bucket_capacity = [0.9, 1.2, 1.8, 2.1]
# 挖掘机作业效率：各型号挖掘机作业效率（斗/小时）
excavator_efficiency = [190, 175, 165, 150]
# 矿车装载量：各型号矿车的装载量（立方米）
truck_capacity = [15, 18, 22, 27, 33, 40, 50, 55, 64, 70]
# 油耗：各型号挖掘机和矿卡设备的油耗（升/小时）
fuel_consumption = [28, 30, 34, 38]
# 价格：各型号挖掘机和矿车设备的购买（万元）
price = [100, 140, 200, 320]
# 人工成本：操作每台挖掘机和矿车的工资、补贴等人工成本（元/月）
labor_cost = [7000, 7500, 8500, 9000]
# 维护成本：设备的月维护成本（元/月）
maintenance_cost = [1000, 1500, 2000, 3000]
# 矿石价格为20元/立方米
ore_price = 20
# 假设该项目规模及其设备的数据如下：启动资金2400万元，计划开采5年。
starting_capital = 2400
planning_period = 5
# 可选挖掘机有4种
excavator_types = range(4)
# 需要的挖掘机数量
excavator_numbers = range(10)
# 已购买矿车数量
truck_numbers = [7, 7, 3]
# 已购买矿车型号
truck_types = [1, 2, 3]
# 已购买矿车参数（油耗、人工成本、维护成本）
truck_consumption = [22, 7000, 3000]
# 油价7元/升
oil_price = 7
# 假设同一型号挖掘机只能匹配同一型号的矿车
# 定义匹配关系字典
match_dict = {0: [0, 0, 0],1: [1, 0, 0],2: [2, 1, 0],3: [0, 2, 1],4: [0, 2, 2],5: [0, 3, 2],6: [0, 4, 2],7: [0, 4, 3],8: [0, 5, 3],9: [0, 6, 4]
}

第二个问题是：如何使用KaiwuSDK或CIM模拟器求解第一题和第二题中建立的QUBO模型，并给出最优的采购方案和挖掘机与矿车的匹配关系。

问题2：挖掘机和矿车的采购优化问题建模

1.建立变量：

令$x_i$表示采购第i种型号的挖掘机的数量，$y_i$表示采购第i种型号的矿车的数量，其中i=1,2,3,4,5,6。

2.建立目标函数：

目标函数为最大化总利润。总利润=收益-各种成本，即：

$$max\sum _{i=1}^4{x}_i\ast (20\ast 20\ast 20\ast 5)\ast (20-7)-\sum _{i=1}^6(x_i\ast 100+y_i\ast 20)-\sum _{i=1}^6(x_i\ast 7000+y_i\ast 5000)-\sum _{i=1}^6(x_i\ast 1000+y_i\ast 1000)$$

其中，20 * 20 * 20 * 5为每台挖掘机每天的作业量，20为矿石价格，7为油价，$x_{i\ast 100}$为每台挖掘机每天的工资成本，$y_{i\ast 20}$为每台矿车每天的油耗成本，$x_{i\ast 7000}$为每台挖掘机每月的人工成本，$y_{i\ast 5000}$为每台矿车每月的人工成本，$x_{i\ast 1000}$为每台挖掘机每月的维护成本，$y_{i\ast 1000}$为每台矿车每月的维护成本。

3.建立约束条件：

(1)挖掘机和矿车的匹配关系约束：

根据表7，可以得到以下约束条件：

$$y_1>=3\ast x_1$$
$$y_1>=3\ast x_2$$
$$y_1>=2\ast x_3$$
$$y_2>=3\ast x_2$$
$$y_2>=3\ast x_3$$
$$y_3>=4\ast x_3$$
$$y_3>=3\ast x_4$$
$$y_4>=5\ast x_1$$
$$y_4>=4\ast x_2$$
$$y_4>=3\ast x_3$$
$$y_5>=5\ast x_2$$
$$y_5>=4\ast x_3$$
$$y_6>=5\ast x_3$$
$$y_6>=4\ast x_4$$

(2)挖掘机和矿车的数量约束：

$$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6<=10$$
$$y_1+y_2+y_3+y_4+y_5+y_6<=10$$

(3)启动资金约束：

$$100\ast x_1+100\ast x_2+100\ast x_3+100\ast x_4+100\ast x_5+100\ast x_6+20\ast y_1+20\ast y_2+20\ast y_3+20\ast y_4+20\ast y_5+20\ast y_6<=4000$$

(4)维持作业效率约束：

为了保证作业效率，每种挖掘机和矿车的数量不能少于3台，即：

$$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,y_1,y_2,y_3,y_4,y_5,y_6>=3$$

Kaiwu SDK和CIM模拟器都是量子计算平台，能够提供优化求解器来求解QUBO模型。下面将分别介绍如何使用这两种工具来求解第一题和第二题中建立的QUBO模型，并给出最优的采购方案和挖掘机与矿车的匹配关系。

1. 使用Kaiwu SDK求解QUBO模型：

Kaiwu SDK提供了模拟退火求解器来求解QUBO模型。模拟退火算法是一种基于概率的优化求解方法，它模拟金属在高温下的退火过程，通过降温来寻找最优解。使用Kaiwu SDK求解第一题和第二题中建立的QUBO模型的步骤：

Step 1：建立QUBO模型

根据第一题和第二题中给出的数据，可以建立对应的QUBO模型。以第二题为例，QUBO模型可以表示为：

$H={\sum }_{i=1}^{10}{x}_i+{\sum }_{i=1}^{10}{\sum }_{j=i+1}^{10}(x_i{x}_j-y_i{y}_j)$

其中，$x_i$表示第i种挖掘机的数量，$y_i$表示第i种矿车的数量。通过调整$x_i$和$y_i$的取值，可以得到不同的方案。

Step 2：导入QUBO模型

使用Python脚本来导入建立好的QUBO模型。Kaiwu SDK提供了Python API来实现这一步骤。需要注意的是，Kaiwu SDK只支持100比特以内的问题求解，因此需要对模型进行优化，尽量减少比特数。

Step 3：设置模拟退火参数

在模拟退火求解器中，有几个重要的参数需要设置，包括退火温度、降温速率、最大迭代次数等。通过调整这些参数，可以影响求解的精度和速度。需要根据实际情况来设置这些参数。

Step 4：运行求解器

设置好参数后，即可运行模拟退火求解器来求解QUBO模型。求解器会返回最优的解及其对应的能量，即最优方案的总利润。通过对比不同参数设置下的求解结果，可以得到最优的采购方案和挖掘机与矿车的匹配关系。

利用KaiwuSDK或CIM模拟器求解第一题和第二题中建立的QUBO模型的步骤如下：

1. 确定优化目标：在第一题中，优化目标是使得总利润最大化，即最大化收益减去各种成本。在第二题中，优化目标是使得5年内的总利润最大化。

2. 建立QUBO模型：根据题目给出的数据，建立QUBO模型，将每个因素转化为QUBO模型中的变量，并根据约束条件构建目标函数。具体的QUBO模型表达式可以参考相关的参考文献。

3. 将QUBO模型转换为Ising模型：由于KaiwuSDK和CIM模拟器均采用Ising模型来求解QUBO模型，因此需要将QUBO模型转换为Ising模型。这一步可以通过线性变换来实现，具体的变换公式可以参考相关的参考文献。

4. 使用KaiwuSDK或CIM模拟器求解Ising模型：将转换后的Ising模型输入KaiwuSDK或CIM模拟器中，利用模拟退火算法来求解最优解。求解过程中，可以设置不同的参数来调整模拟退火算法的收敛速度和精度。

5. 获取最优解：求解完成后，可以获取到最优解的各个变量的取值，从而得到最优的采购方案和挖掘机与矿车的匹配关系。

import numpy as np
import dwavebinarycsp
from dwave.system import LeapHybridSampler
from dwave.system import DWaveSampler, EmbeddingComposite
from pyqubo import Array, Constraint, Placeholder
import itertools2. 定义问题中需要使用的参数：
# 定义挖掘机和矿车的数量
num_excavators = 4
num_trucks = 3# 定义挖掘机和矿车的参数表
excavator_params = {'挖1': [0.9, 190, 28, 100, 7000, 1000],'挖2': [1.2, 175, 30, 140, 7500, 1500],'挖3': [1.8, 165, 34, 200, 8500, 2000],'挖4': [2.1, 150, 38, 320, 9000, 3000]
}
truck_params = {'矿1': [18, 6000, 2000],'矿2': [22, 7000, 3000],'矿3': [27, 8000, 4000]
}# 定义矿石价格
ore_price = 20# 定义油价
oil_price = 7# 定义每月工作天数和工作小时数
work_days = 20
work_hours = 8# 定义挖掘机和矿车的匹配关系表
excavator_truck_matches = {'挖1': ['矿1', '矿2'],'挖2': ['矿1', '矿2', '矿3'],'挖3': ['矿1', '矿2', '矿3'],'挖4': ['矿2', '矿3']
}3. 建立QUBO模型：
首先，我们需要定义一些变量和占位符：
# 定义占位符
x = Array.create('x', shape=num_excavators, vartype='BINARY')
y = Array.create('y', shape=num_trucks, vartype='BINARY')
z = Array.create('z', shape=(num_excavators, num_trucks), vartype='BINARY')# 定义变量
d = Placeholder('d')
c = Placeholder('c')
p = Placeholder('p')
h = Placeholder('h')
f = Placeholder('f')
m = Placeholder('m')
s = Placeholder('s')然后，我们可以构建目标函数和约束条件：
# 定义目标函数
H_obj = d * sum(p[i] * x[i] + sum(c[i, j] * y[j] * z[i, j] for j in range(num_trucks)) for i in range(num_excavators)) \- f * sum(s[j] * y[j] for j in range(num_trucks))# 定义约束条件
H_const = Constraint(sum(x), label='excavator_total', strength=m) + \Constraint(sum(y), label='truck_total', strength=m) + \Constraint(sum(x[i] for i in range(num_excavators) if excavator_truck_matches['挖1'].count(truck_params['矿1']) > 0), \label='excavator1_match', strength=m - 1) + \Constraint(sum(x[i] for i in range(num_excavators) if excavator_truck_matches['挖1'].count(truck_params['矿2']) > 0), \label='excavator2_match', strength=m - 2) + \Constraint(sum(x[i] for i in range(num_excavators) if excavator_truck_matches['挖2'].count(truck_params['矿1']) > 1), \label='excavator3_match', strength=m - 1) + \

问题3是在已购买10种类型的矿车，可选的挖掘机数量为10，整体包含的挖掘机型号不能少于5种，考虑启动资金为4000万元的情况下，建立QUBO模型并求解最优的采购方案，给出挖掘机和矿车之间的匹配关系。

假设可选的挖掘机型号为 i ∈ I = { 1 , 2 , . . . , 10 } i\in I=\{1,2,...,10\} i∈I={1,2,...,10}，可选的矿车型号为 j ∈ J = { 1 , 2 , . . . , 10 } j\in J=\{1,2,...,10\} j∈J={1,2,...,10}。设 $x_{ij}$ 表示采购挖掘机 $i$ 的数量，$y_{ij}$ 表示挖掘机 $i$ 与矿车 $j$ 的匹配关系（即挖掘机 $i$ 最多能够匹配几辆矿车 $j$）。设 $c_{ij}$ 表示采购挖掘机 $i$ 的成本，$p_{ij}$ 表示挖掘机 $i$ 每小时的作业效率，$r_{ij}$ 表示挖掘机 $i$ 每小时的油耗，$d_{ij}$ 表示矿车 $j$ 每小时的油耗，$s_{ij}$ 表示挖掘机 $i$ 和矿车 $j$ 的每小时运营成本，$q_{ij}$ 表示挖掘机 $i$ 和矿车 $j$ 的每小时维护成本，$n_{ij}$ 表示矿石每立方米的售价。

则该问题的目标函数为：

$\text{max}{\sum }_{i=1}^{10}{\sum }_{j=1}^{10}{n}_{ij}{p}_{ij}{y}_{ij}{x}_{ij}-{\sum }_{i=1}^{10}{\sum }_{j=1}^{10}{c}_{ij}{x}_{ij}-{\sum }_{i=1}^{10}{\sum }_{j=1}^{10}{r}_{ij}{x}_{ij}-{\sum }_{i=1}^{10}{\sum }_{j=1}^{10}{d}_{ij}{y}_{ij}{x}_{ij}-{\sum }_{i=1}^{10}{\sum }_{j=1}^{10}{s}_{ij}{y}_{ij}{x}_{ij}-{\sum }_{i=1}^{10}{\sum }_{j=1}^{10}{q}_{ij}{y}_{ij}{x}_{ij}$

约束条件为：

1. 每种型号挖掘机的数量不能超过可选的挖掘机数量：${\sum }_{j=1}^{10}{x}_{ij}\le 10,i=1,2,...,10$

2. 每种型号矿车的数量不能超过已购买的数量：${\sum }_{i=1}^{10}{y}_{ij}{x}_{ij}\le 10,j=1,2,...,10$

3. 每种型号挖掘机只能匹配同一型号的矿车：$y_{ij}=0,\forall i\ne j$

4. 挖掘机和矿车的匹配关系：${\sum }_{j=1}^{10}{y}_{ij}{x}_{ij}\le y_{ij}\cdot {\sum }_{i=1}^{10}{x}_{ij},i=1,2,...,10$

5. 启动资金约束：${\sum }_{i=1}^{10}{\sum }_{j=1}^{10}{c}_{ij}{x}_{ij}\le 4000$

6. 每种型号挖掘机和矿车的数量不能为负数：$x_{ij},y_{ij}\ge 0$

7. 每种型号挖掘机和矿车的匹配关系为整数：$y_{ij}\in \mathbb{Z},i=1,2,...,10,j=1,2,...,10$

根据题目给出的数据，可以将问题转换为一个0-1整数规划问题，其中变量x(i,j)表示是否购买挖掘机i和矿车j，取值为0或1。根据题目要求，需要考虑以下约束条件：

1. 每种挖掘机都有一个购买限制，即每种挖掘机的购买数量不能超过其对应的已购买矿车数量。

2. 每种矿车都有一个购买限制，即每种矿车的购买数量不能超过其对应的已购买矿车数量。

3. 每种挖掘机和矿车的匹配关系必须满足表7中的要求。

4. 每种挖掘机和矿车的购买数量不能超过启动资金的总额。
   

另外，根据题目要求，最大化总利润可以表示为以下公式：

总利润 = 收益 - 挖掘机购买成本 - 矿车购买成本 - 人工成本 - 维护成本

其中收益可以表示为矿石的价格乘以每天的作业量，每天的作业量可以根据题目给出的条件和挖掘机和矿车的匹配关系计算得出。

所以，可以得到QUBO模型的目标函数为：
$$Minimize\sum _{i=1}^{10}\sum _{j=1}^{10}(20\times x(i,j))-\sum _{i=1}^{10}(x(i,j)\times 100)-\sum _{j=1}^{10}(x(i,j)\times 20)-\sum _{i=1}^{10}\sum _{j=1}^{10}(x(i,j)\times 7000)-\sum _{i=1}^{10}\sum _{j=1}^{10}(x(i,j)\times 1000)$$

其中x(i,j)为0或1，表示是否购买挖掘机i和矿车j。

考虑约束条件，可以得到以下约束条件：

1. 每种挖掘机和矿车的购买数量不能超过已购买的数量：
   $$\sum _{j=1}^{10}x(i,j)\le 10,i=1,2,\cdots ,10$$
   $$\sum _{i=1}^{10}x(i,j)\le 10,j=1,2,\cdots ,10$$

2. 每种挖掘机和矿车的匹配关系必须满足表7中的要求：
   $$x(1,1)+x(2,1)+x(2,2)+x(3,1)+x(3,2)+x(3,3)+x(4,2)+x(4,3)+x(5,3)\ge 5$$
   $$x(2,1)+x(2,2)+x(3,1)+x(3,2)+x(3,3)+x(4,2)+x(4,3)+x(5,3)+x(6,3)\ge 5$$
   $$x(3,1)+x(3,2)+x(3,3)+x(4,2)+x(4,3)+x(5,3)+x(6,3)+x(7,3)\ge 5$$
   $$x(4,2)+x(4,3)+x(5,3)+x(6,3)+x(7,3)+x(8,3)\ge 5$$

# 导入KaiwuSDK库
import kaiwusdk as kaiwu
# 导入CIM模拟器库
from pyqubo import Array, Const, Placeholder, Constraint, solve_qubo# 定义挖掘机和矿车的参数
excavator = [{'type': '挖1', 'capacity': 0.9, 'efficiency': 190, 'fuel_consumption': 28, 'price': 100, 'labor_cost': 7000,'maintenance_cost': 1000},{'type': '挖2', 'capacity': 1.2, 'efficiency': 175, 'fuel_consumption': 30, 'price': 140, 'labor_cost': 7500,'maintenance_cost': 1500},{'type': '挖3', 'capacity': 1.8, 'efficiency': 165, 'fuel_consumption': 34, 'price': 200, 'labor_cost': 8500,'maintenance_cost': 2000},{'type': '挖4', 'capacity': 2.1, 'efficiency': 150, 'fuel_consumption': 38, 'price': 320, 'labor_cost': 9000,'maintenance_cost': 3000},{'type': '挖5', 'capacity': 2.6, 'efficiency': 140, 'fuel_consumption': 42, 'price': 440, 'labor_cost': 10000,'maintenance_cost': 5000},{'type': '挖6', 'capacity': 3.5, 'efficiency': 130, 'fuel_consumption': 50, 'price': 500, 'labor_cost': 12000,'maintenance_cost': 8000},{'type': '挖7', 'capacity': 5, 'efficiency': 120, 'fuel_consumption': 60, 'price': 640, 'labor_cost': 13000,'maintenance_cost': 10000},{'type': '挖8', 'capacity': 6, 'efficiency': 110, 'fuel_consumption': 75, 'price': 760, 'labor_cost': 16000,'maintenance_cost': 13000},{'type': '挖9', 'capacity': 8, 'efficiency': 105, 'fuel_consumption': 90, 'price': 860, 'labor_cost': 18000,'maintenance_cost': 15000},{'type': '挖10', 'capacity': 10, 'efficiency': 100, 'fuel_consumption': 100, 'price': 1000, 'labor_cost': 20000,'maintenance_cost': 18000}
]

第四个问题是针对潜在的可应用场景的举例，要求描述场景背景、研究方法、思路和预期结果，并提供相关的技术路线图、QUBO模型表达式和参考文献。

场景背景：

某大型电商平台需要在每年的双11购物狂欢节期间，根据历史数据和市场变化情况，制定出最优的促销策略，以吸引消费者并最大化销售额。平台目前拥有海量的用户数据，包括用户的历史购买记录、浏览记录、收藏记录等，以及商品的销售数据。

研究方法：

利用QUBO模型和量子计算的优势，对平台的促销策略进行优化。首先，通过对历史数据的分析，建立商品与用户之间的关联性。其次，根据用户的偏好和行为习惯，构建用户画像，并将用户分为不同的群体。然后，根据不同群体的特点，结合实时的市场数据，使用QUBO模型优化平台的促销策略，例如商品的定价、推荐优先级、促销力度等。

思路和预期结果：

通过对用户的行为数据和商品的销售数据进行深入的分析，结合QUBO模型的优化能力，平台可以制定出更加精准和个性化的促销策略，从而吸引更多的消费者，并提高销售额。同时，利用量子计算的优势，可以在短时间内对大量的数据进行优化，提高决策的效率和准确性。

技术路线图：

1. 收集和整理平台的历史数据，包括用户的行为数据和商品的销售数据。
2. 建立商品与用户之间的关联性，构建用户画像，并将用户分为不同的群体。
3. 根据不同群体的特点，结合实时的市场数据，使用QUBO模型进行优化决策。
4. 利用量子计算的优势，对大量的数据进行快速的优化，得到最优的促销策略。
5. 在双11购物狂欢节期间，将优化后的促销策略应用到平台，进行实时的监测和调整。
6. 对比双11期间的销售额和平台的历史数据，评估优化后的促销策略的效果。

QUBO模型表达式：

假设平台有n种商品，m个用户群体，需要优化的决策变量为x，表示每种商品的促销力度，取值范围为0到1。目标函数为最大化平台的销售额，可以表示为：

maximize ${\sum }_{i=1}^n{x}_i\ast sale{s}_i$

其中，$sale{s}_i$为商品i的销售额。同时，还需要考虑一些约束条件，如不同群体的商品偏好、商品的库存量等。

潜在可应用场景举例：电力系统调度优化问题。

背景：电力系统是现代社会中不可或缺的基础设施，其调度优化涉及到多个因素，如供需平衡、电网安全、经济性等。传统的电力系统调度优化方法主要基于传统的数学优化方法，如整数规划、线性规划等，但随着电力系统规模的不断扩大，这些方法在求解复杂问题时面临着挑战。

研究方法：基于QUBO模型的电力系统调度优化方法。

思路：将电力系统调度问题转化为一个优化问题，其中目标函数为最小化总成本，约束条件包括电力供需平衡、电网安全性、环境因素等。具体地，可以将电力系统中的各个节点及其负载、发电机等设备表示为量子比特，将各个节点之间的连接关系表示为耦合项，最终得到一个QUBO模型。通过求解该模型，可以得到最优的电力系统调度方案，从而实现供需平衡、保证电网安全性、降低成本等目标。

预期结果：利用量子计算的优势，可以大幅提升电力系统调度优化问题的求解效率，从而实现更精确的调度方案。同时，该方法也可以应用于其他复杂系统的优化问题，具有广泛的应用前景。

技术路线图：首先，根据实际电力系统的特点和需求，建立相应的QUBO模型，同时考虑电力系统中的各种约束条件。其次，利用量子计算的优势，通过求解该模型得到最优的电力系统调度方案。最后，将该方法与传统的数学优化方法进行比较，验证其有效性和优越性。

QUBO模型表达式：假设电力系统中有m个节点和n个设备，则可以表示为一个m+n个量子比特的QUBO模型，其中目标函数为：

$$minimize\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n(c_{ij}{x}_i{x}_j+d_{ij}{x}_i+e_{ij}{x}_j)+\sum _{i=1}^n{f}_i{x}_i$$

约束条件为：

$$\sum _{i=1}^m{x}_i=\sum _{j=1}^n{x}_j$$

$$g(x)\le 0$$

其中，$c_{ij},d_{ij},e_{ij},f_i$为相关系数，$x_i,x_j$为量子比特，$g(x)$为约束函数。

【潜在应用场景】
在城市交通领域，由于车辆数量不断增加，交通拥堵问题日益严重。为了解决这一问题，政府部门通常会通过限行、调整交通信号灯等手段来缓解交通拥堵。然而，这些方法都存在一定的局限性，而采用量子计算来优化交通信号灯的配时方案，可能是一种更有效的解决方案。

【背景信息】
交通信号灯配时方案是指在多个交叉路口的信号灯运行时，通过调整每个信号灯的绿灯持续时间，来优化车辆通过交叉路口的效率。传统的优化方法通常采用模拟退火算法或遗传算法，但这些方法的计算复杂度较高，且不能保证得到最优解。而量子计算具有并行计算和穷举搜索的优势，可以更有效地解决这一问题。

【研究方法】
该场景可以采用QUBO模型来建模，将每个交叉路口作为一个节点，将车辆通过的时间作为目标函数，通过调整信号灯的绿灯持续时间来最大化目标函数，并考虑到红灯等待时间的成本。同时，可以将路段的交通流量、速度等信息作为约束条件，保证交通系统的稳定性。

【思路和预期结果】
通过采用量子计算来优化交通信号灯的配时方案，可以有效提高交通系统的效率，缓解交通拥堵问题。预期结果是通过优化配时方案，可以使交通系统整体的车辆通过时间最小化，并降低红灯等待时间成本。

【技术路线图】

1. 收集交通系统的数据，包括交叉路口数量、交通流量、车速等信息；
2. 建立QUBO模型，将交叉路口作为节点，通过调整信号灯的绿灯持续时间来最大化车辆通过时间，并考虑到红灯等待时间的成本；
3. 使用量子计算来求解QUBO模型，得到最优的配时方案；
4. 将最优配时方案应用到实际的交通系统中，并进行实验验证；
5. 对比使用量子计算和传统优化方法的结果，评估量子计算在优化交通信号灯配时方案中的效果。

【QUBO模型表达式】
目标函数：
${\min }_{x_{i,t}}{\sum }_{i=1}^N{\sum }_{t=1}^T(1-x_{i,t})w_i+{\sum }_{i=1}^N{\sum }_{t=1}^T{\sum }_{j=1}^M{x}_{i,t}{c}_{i,j}{\lambda }_{i,j}$
约束条件：
${\sum }_{i=1}^N{x}_{i,t}\le V_t,\forall t$
x i , t ∈ { 0 , 1 } , ∀ i , t x_{i,t} \in \{0,1\}, \forall i,t xi,t​∈{0,1},∀i,t
其中，$N$为交叉路口数量，$T$为时间段数量，$x_{i,t}$为第$i$个交叉路口在第$t$个时间段的信号灯状态，$w_i$为第$i$个交叉路口红灯等待时间的成本，$M$为路段数量，$c_{i,j}$为第$i$个交叉路口和第$j$条路段的交通流量，${\lambda }_{i,j}$为第$i

场景背景：某电子商务公司需要根据用户的购买记录和浏览行为，为每个用户个性化推荐商品，以提高用户满意度和交易量。该公司的商品数量庞大，每个用户的购买记录和浏览行为也是动态变化的，传统的推荐算法效果不佳。

研究方法：该问题可以转化为一个组合优化问题，即在给定的商品库中，为每个用户选择一定数量的商品，使得总体推荐效果最优。为了解决这个组合优化问题，可以使用量子计算来求解。

思路：首先，将每个用户的购买记录和浏览行为转化为对商品的评分，评分越高表示用户对该商品的偏好程度越高。然后，根据用户的评分和商品的特征，建立一个QUBO模型，将每个商品作为一个变量，优化目标函数为最大化总体推荐效果。最后，使用量子计算来求解该QUBO模型，得到最优的商品推荐组合。

预期结果：通过量子优化求解，可以得到更优的商品推荐组合，提高用户的满意度和交易量。同时，量子计算可以更快地求解这个组合优化问题，减少计算时间。

技术路线图：首先，根据用户的购买记录和浏览行为，构建用户-商品评分矩阵。然后，根据商品的特征，构建商品-商品相似度矩阵。接着，将评分和相似度转化为QUBO模型的目标函数和约束条件。最后，使用量子优化算法求解得到最优的商品推荐组合。

QUBO模型表达式：假设共有n个商品，每个商品分别用x1,x2,…,xn表示。对于第i个用户，其评分为si，根据商品之间的相似度，定义相似度矩阵为W，其中W[i][j]表示商品i和商品j的相似度。则可以得到QUBO模型的目标函数为：
$$minimize(x1\ast s1+x2\ast s2+...+xn\ast sn)+(W[1][1]\ast x1\ast x1+W[1][2]\ast x1\ast x2+...+W[1][n]\ast x1\ast xn)+(W[2][1]\ast x2\ast x1+W[2][2]\ast x2\ast x2+...+W[2][n]\ast x2\ast xn)+...+(W[n][1]\ast xn\ast x1+W[n][2]\ast xn\ast x2+...+W[n][n]\ast xn\ast xn)$$
约束条件为：$$x1+x2+...+xn=m$$，其中m为每个用户需要推荐的商品数量。

更多内容具体可以看看我的下方名片！里面包含有认证杯一手资料与分析！
另外在赛中，我们也会陪大家一起解析认证杯的一些方向
关注 CS数模 团队，数模不迷路～

这篇关于2024年第十四届 Mathorcup高校数学建模竞赛（D题）| 矿山设备配置及运营 | 0-1整数规划，QUBO模型 | 数学建模完整代码+建模过程全解全析的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

---