二维相位解包理论算法和软件【全文翻译- 残差、梯度和相分解:示例 (2.72.8)】

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2.7 残差、梯度和相分解:示例

观察第 2.3 节中提出的局部相位特性如何应用于现实世界是很有启发性的。我们将借助第 2.4 节中的亥姆霍兹分解定理来实现这一点。图 2.7(a)描述了一个 512×512 像素的包裹相位函数,它是实际应用中可能遇到的典型相位函数。请注意,有几条边缘线似乎是 "凭空 "产生或终止的,就像图 2.2(a) 或图 2.3(a) 中的边缘线一样。如图 2.7(b)所示,正负残差分别标记为 4×4 像素的白色和黑色方块。相位行为表明,在得出该相位的复变函数中存在零点。
图 2.7(a)中的包裹相位分解为图 2.7(c)中的非旋转或无旋转包裹相位分量和图 2.7(d)中的旋转分量。除了任意相加外,这些分量都是唯一的。总的来说,它们包含了图 2.7(a)中原始包裹相位的所有特性。

图 2.7 Helmholt z 分解定理应用于 512×512 像素的包裹相位阵列。(a) 典型的包裹相位函数缩放显示。(b)残差图显示的正负残差分别为白色和黑色方块。 (c)非旋转或无旋转的包裹相位分量。解旋位置使得分量(c)和(d)的包裹和产生(a)中的原始数据。 

图 2.8 与图 2.7(a)中旋转部分相对应的包裹相位。请注意,所有边缘线都保持连接,形成闭合环路,或在阵列边界开始和结束。(b)(a)中未包裹的相位。(c)(a)中旋转相位的 x 梯度分量。(d)(a)中旋转相位的 y 梯度分量。

图 2.8(a)中显示的非旋转成分是无残差的,任何路径跟踪算法都可以对其进行解包。图 2.8(b)显示了解包后的相位。为完整起见,图 2.8(c)和(d)显示了 x 和 y 相的梯度组成。请注意,梯度反映了相位中的 "地形"。

图 2.9 (a) 与图 2.7(a)中旋转分量相对应的包裹相位。注意所有的边缘线都是断开的。(b) 残差图将正负残差分别显示为白色和黑色方块。(c) 旋转相位的 x 梯度分量 φ 。请注意,旋转梯度分量没有保留图 2.7(a)中的原始相位拓扑。(d) 旋转相位向上的 Y 梯度分量。请注意,旋转梯度分量没有保留图 2.7(a)中的原始相位地形。

相比之下,图 2.9(a)所示的旋转分量包含了图 2.7(a)中原始相位函数的所有残基。旋转分量的残差图如图 2.9(b)所示,与图 2.7(b)所示的残差图完全相同。请注意,图 2.9(c)和(d)所示的旋转梯度分量包含图 2.3(b)和(c)梯度分量的叠加。

有趣的是,仅根据残基位置和电荷就可以重建任何包裹相的旋转成分。例如,我们可以仅根据图 2.9(b) 或图 2.7(b) 的残差图重建图 2.9(a) 所示的相位。考虑图 2.3(a)中所示的正残余物的元素旋转分量(负残余物的元素旋转分量只需反转符号)。

如果我们将元素旋转分量定位在残留物的位置上,并加上适当的符号,将相关域中所有点的元素相位相加,"并将结果包入(-π,π]范围内,我们就可以构造出一个几乎是正确结果的旋转相位分量。由于我们不知道元素旋转分量的正确分数和位置(即残差位于 2×2 像素盒内的未知位置),我们的简单叠加程序可能会产生本不应该存在的额外非旋转分量。然而,通过 Helmholt z 分解定理,可以很容易地去除这个非旋转分量。一旦移除了诱导的非旋转分量,包裹后的残差就是所需的旋转分量(在任意加常数范围内)。图 2.10 显示了这一过程的结果。

 图 2.10 根据对残基位置和极性的了解,重建与旋转分量相对应的包裹相位。(a) 图 2.7(b)中残基位置的元素旋转分量(图 2.3a)叠加产生的包裹相位。(b)对(a)进行最小二乘解缠后得到的缠绕旋转分量。(c)从(a)减去(b)后的缠绕残差。(d) 调整偏差后的包裹旋转分量。这与图 2.7(d)中的结果相同。

2.8 结论

我们已经强调过,残留物的存在会导致相位解包过程的路径依赖性,但我们还没有证明这一定是件坏事。那么,如果我们忽略残留物呢?不平衡残基电荷又如何?如果我们将残基配对或错误地进行分支切割又会怎样?我们还没有任何复杂的二维相位解开算法来帮助回答这些问题,但我们真的需要它们吗?答案是肯定的!
迄今为止,我们描述的唯一相位解包算法是伊藤的方法(见第 1 章第 1.3.1 节)。为什么不将这种算法扩展到二维,在覆盖整个二维阵列的路径上对包裹的相位差进行积分,看看会发生什么呢?图 2.11 说明了存在残差时这种简单方法的失败。图 2.11(a)与图 2.8(a)相同,显示了一个数据一致的包裹相位阵列(即不存在残差)。图 2.11(b)显示了通过扩展伊藤的一维方法得到的解包相位,具体如下: 首先,我们沿数组最左列垂直解开相位。这种简单相位解包算法的 C 语言软件见附录 A 第 A.2 节)。对于完全一致的数据,解包是成功的。在解包结果中看不到任何异常伪影。此外,解包相位的局部 x 和 y 相位差在任何地方的幅度都小于 w 弧度。这正是我们所需要的。事实上,伊藤的方法得到的结果与图 2.8(b)中显示的结果完全相同。

 图 2.11 通过对伊藤方法的简单扩展进行二维相位解包裹(a)一致数据的包裹相位。(b)以强度图形式显示的解包裹相位。首先沿最左列垂直解开相位,然后以最左列解开的相位作为该行的初始值,逐行解开相位。(c)包含残留物的包裹相位。(d)简单的解包裹技术产生了从残留物向积分路径方向延伸的条纹。

图 2.11(c)与图 2.7(a)相同,显示了包含残基的包裹相位阵列。图 2.11(d)所示的解包裹结果显示了从残差位置发出的条纹。此外,解包后的相位不再包含局部相位差,这些局部相位差在任何地方的大小都小于π radians。一些局部相位差的跃迁幅度大于π。由于包裹相位的 "地形 "并没有表明未包裹相位中应该存在较大的相位不连续,因此伊藤的方法结果并不理想。即使我们使用不同的路径来覆盖阵列,新方向上的残留物也会产生条纹。看来我们需要更复杂的解包裹方法。但是,需要施加什么样的条件才能确保 "良好 "的结果呢?这就是本书接下来要讨论的主题。


在本章的最后,我们将提出一个重要的观点。图 2.9(c)和(d)中显示的旋转梯度分量似乎没有 "拓扑图形"。 事实上,它们没有保留赫尔姆霍兹分解定理所要求的原始包裹相梯度的本质。因此,如何才能以反映相位拓扑的方式平衡残留电荷呢?答案是不能。简单地说,电荷平衡的方法,无论是残差配对、分支切割还是其他方法,都没有先验的合理性。在实践中,我们必须根据手头的应用和对预期结果的感觉,注入一种首选的路径跟踪策略或假设。当我们讨论成功的相位解包算法的各种策略和假设时,二维相位解包的真正难点就会显现出来。

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