算法学习14：数论（质数，约数，欧拉函数，快速幂）

2024-03-31 14:36
文章标签 算法 函数 学习 快速 质数 14 欧拉 数论 约数

本文主要是介绍算法学习14：数论（质数，约数，欧拉函数，快速幂），希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

算法学习14：数论（质数，约数，欧拉函数，快速幂）

文章目录

  • 算法学习14：数论（质数，约数，欧拉函数，快速幂）
  • 前言
  • 要记忆的模版：
  • 一、质数
    • 1.质数的判定：试除法
    • 2.质因数的分解：试除法
    • 3.筛质数：埃氏筛、线性筛
  • 二、约数
    • 1.试除法求约数
    • 2.求约数个数、约数之和（懵懵的）
    • 3.辗转相处法求最大公约数（欧几里得定理）
    • 4.扩展欧几里得定理：
      • 线性同余方程：（和扩展欧几里得定理一样，不太理解，待以后解决）
  • 三、欧拉函数：1~n中，与n互质的数的个数叫做欧拉函数
    • 1.例题1：求一个数n的欧拉函数phi（n）
    • 2.例题2：给定一个正整数n，求1~n中每个数的欧拉函数之和
  • 四、快速幂
    • 1.例题：给定a，k，p，求出a^k mod p 的值
    • 2.给定a，p，其中p是质数，求a%p的乘法逆元，不存在则输出impossible
    • 在这里插入图片描述
  • 总结

前言

数论这个不分涉及到很多**“数学推导”**的部分，自我感觉这部分很难去理解，一些点很乱，须要后面遇到实际问题的时候去优化。

须要达成的目标：了解一些简单的数论知识，有个印象。比如：筛，欧几里得定理，快速幂。

在这里插入图片描述

要记忆的模版：

// 试除法求约数：
bool is_prime(int n)
{if(n < 2) return false;for(int i = 2; i <= n / i; i ++)if(n % i == 0) return false;return true; } // 分解质因数：
void divide(int n)
{for(int i = 2; i <= n / i; i ++)if(n % i == 0){while(n % i == 0) 	n /= i;printf("%d", i);}if(n > 1) printf("%d", n);					} // 例子：2310 = 2 * 3 * 5 * 7 * 11 
// 24 = 2 * 2 * 2 * 3

提示：以下是本篇文章正文内容：

一、质数

1.质数的判定：试除法

bool is_prime(int n)
{if(n < 2) return false;for(int i = 2; i <= n / i; i ++)if(n % i == 0) return false;return true; }

2.质因数的分解：试除法

c++求解质因数，了解什么是质因数

void divide(int n)
{for(int i = 2; i <= n / i; i ++)if(n % i == 0){while(n % i == 0) 	n /= i;printf("%d", i);}if(n > 1) printf("%d", n);					} // 例子：2310 = 2 * 3 * 5 * 7 * 11 
// 24 = 2 * 2 * 2 * 3void divide(int n)
{int i = 2;do {while(n % i==0) {cout << i;n /= i;if(n != 1) cout<<"*";}i++;}while(n!=1);
}// 筛质数：
// 埃氏筛 （对朴素筛的优化） void get_prime(int n)
{for(int i = 2; i <= n; i ++){if(!st[i]) {primes[cnt ++] = i;// 标记质数的倍数 for(int j = i; j <= n; j += i) st[j] = true;}} } // 线性筛 void get_prime(int n)
{for(int i = 2; i <= n; i ++){if(!st[i]) primes[cnt ++] = i;for(in j = 0; primes[j] <= n / j; j ++){st[primes[j] * i] = true;if(i % primes[j] == 0) break; }}}

3.筛质数：埃氏筛、线性筛

在这里插入图片描述

// 例题：给定一个n，求出1~n中质数的个数。
int primes[N], cnt;
bool st[N];// false：质数， true：合数 // primes：存储的是质数，cnt：质数的个数 // 朴素筛法 void get_prime(int n)
{for(int i = 2; i <= n; i ++){if(!st[i]) primes[cnt ++] = i;// 标记倍数 for(int j = i; j <= n; j += i) st[j] = true;} } // 埃氏筛 （对朴素筛的优化） void get_prime(int n)
{for(int i = 2; i <= n; i ++){if(!st[i]) {primes[cnt ++] = i;// 标记质数的倍数 for(int j = i; j <= n; j += i) st[j] = true;}} } // 线性筛 void get_prime(int n)
{for(int i = 2; i <= n; i ++){if(!st[i]) primes[cnt ++] = i;for(in j = 0; primes[j] <= n / j; j ++){st[primes[j] * i] = true;if(i % primes[j] == 0) break; }}}

二、约数

1.试除法求约数

// 给定一个n，求出n的所有约数
vector<int> get_divisors(int n)
{for(int i = 1; i <= n / i; i ++)// 遍历 if(n % i == 0){res.push_back(i);// 防止i*i == n ，就是n是i的平方 if(i != n / i) res.push_back(n / i);}sort(res.begin(), res.end());return res;
}

2.求约数个数、约数之和（懵懵的）

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

// 给定n个整数，请求出这些数约数的个数，
// 请求出这些数的乘积的约数之和。
// 思考：求一个和求一堆是一样的问题
typedef long long LL;unorder_map<int, int> primes;
while(n --)
{int x;cin >> x;for(int i = 2; i <= x / i; i ++)while(x % i == 0){x /= i;primes[i] ++;// 哈希表的：key：i，value：++ }
}
LL res = 1;// res为约数的个数 
for(auto prime : primes) 
res = res * (prime.second + 1) % mod;LL res = 1;// res为约数之和 
for(auto prime : primes)
{int p = prime.first, a = prime.second;LL t = 1;while(a --) t = (t * p + 1) % mod;res = res * t % mod;// 遍历完 }

3.辗转相处法求最大公约数（欧几里得定理）

求a和b的最大公约数

#include <iostream>using namespace std;int gcd(int a, int b)
{return b ? gcd(b, a % b) : a;
}int main()
{int n;scanf("%d", &n);while(n --){int a, b;scanf("%d%d", &a, &b);printf("%d\n", gcd(a, b));}return 0;
}

在这里插入图片描述

4.扩展欧几里得定理：

在这里插入图片描述

// 给定n对正整数a，b，对于每对数，求出一组x，y，使其满足ax = gcd（a，b）；
// 还没理解清楚 
#include <iostream>using namespace std;// 传递x，y的引用。 
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{if(!b){x = 1, y = 0;return a;}int d = exgcd(b, a % b, y, x);y -= a / b * x;return d;// d??? 
}int main()
{int n;scanf("%d", &n);while(n --){int a, b, x, y;scanf("%d%d", &a, &b);exgcd(a, b, x, y);printf("%d %d", x, y);}return 0;
}

线性同余方程：（和扩展欧几里得定理一样，不太理解，待以后解决）

给定n组数据a，b，m，对于每一组数据，取出一个x，使其满足ax = b（%m）

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

三、欧拉函数：1~n中，与n互质的数的个数叫做欧拉函数

在这里插入图片描述

1.例题1：求一个数n的欧拉函数phi（n）

// 求一个数n的欧拉函数phi（n）
#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;int main()
{int n;cin >> n;while(n --){int a;cin >> a;int res = a;for(int i = 2; i <= a / i; i ++){if(a % i == 0){// res = res * (1 - 1 / a);res = res / a * (a - 1);// 对除号的变形 while(a % i == 0) a /= i;}}if(a > 1) res = res / a * (a - 1);cout << res << endl; } return 0;
}

在这里插入图片描述

2.例题2：给定一个正整数n，求1~n中每个数的欧拉函数之和

// 给定一个正整数n，求1~n中每个数的欧拉函数之和
#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;typedef long long LL;const int N = 1e6 + 10;int primes[N], cnt;
int phi[N];
bool st[N];LL get_eulers(int n)
{phi[1] = 1;for(int i = 2; i <= n; i ++){if(!st[i]){primes[cnt ++] = i;phi[i] = i - 1;// 注意1.}for(int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++){st[primes[j] * i] = true;if(i % primes[j] == 0) {phi[primes[j] * i] = phi[i] * primes[j];// 注意2 break;}phi[primes[j] * i] = phi[i] * (primes[j] - 1);// 注意3 }}LL res = 0;for(int i = 1; i <= n; i ++) res += phi[i];// 注意4 return res; 
}int main()
{int n;cin >> n;cout << get_eulers(n) << endl;	return 0;
}

在这里插入图片描述

四、快速幂

1.例题：给定a，k，p，求出a^k mod p 的值

在这里插入图片描述

#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;typedef long long LL;// a^k mod p
int qmi(int a, int k, int p)
{int res = 1;while(k){// k的二进制末位为1 if(k & 1) res = (LL) res * a % p;k >>= 1;a = (LL) a * a % p;// a的平方 }return res;
}int main()
{int n;scanf("%d", &n);while(n --){int a, k, p;scanf("%d%d%d", &a, &k, &p);printf("%d", qmi(a, k, p));}return 0;}

在这里插入图片描述

2.给定a，p，其中p是质数，求a%p的乘法逆元，不存在则输出impossible

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

总结

提示：这里对文章进行总结：
💕💕💕

这篇关于算法学习14：数论（质数，约数，欧拉函数，快速幂）的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！


http://www.chinasem.cn/article/864567。

相关文章

Mybatis对MySQL if 函数的不支持问题解读

Mybatis对MySQL if 函数的不支持问题解读

《Mybatis对MySQLif函数的不支持问题解读》接手项目后,为了实现多租户功能,引入了Mybatis-plus,发现之前运行正常的SQL语句报错,原因是Mybatis不支持MySQL的if函... 目录MyBATis对mysql if 函数的不支持问题描述经过查询网上搜索资料找到原因解决方案总结Myb
阅读更多...
Python容器转换与共有函数举例详解

Python容器转换与共有函数举例详解

《Python容器转换与共有函数举例详解》Python容器是Python编程语言中非常基础且重要的概念,它们提供了数据的存储和组织方式,下面：本文主要介绍Python容器转换与共有函数的相关资料,... 目录python容器转换与共有函数详解一、容器类型概览二、容器类型转换1. 基本容器转换2. 高级转换示
阅读更多...
Python实现快速扫描目标主机的开放端口和服务

Python实现快速扫描目标主机的开放端口和服务

《Python实现快速扫描目标主机的开放端口和服务》这篇文章主要为大家详细介绍了如何使用Python编写一个功能强大的端口扫描器脚本,实现快速扫描目标主机的开放端口和服务,感兴趣的小伙伴可以了解下... 目录功能介绍场景应用1. 网络安全审计2. 系统管理维护3. 网络故障排查4. 合规性检查报错处理1.
阅读更多...
MySQL快速复制一张表的四种核心方法(包括表结构和数据)

MySQL快速复制一张表的四种核心方法(包括表结构和数据)

《MySQL快速复制一张表的四种核心方法(包括表结构和数据)》本文详细介绍了四种复制MySQL表（结构+数据）的方法,并对每种方法进行了对比分析,适用于不同场景和数据量的复制需求,特别是针对超大表（1... 目录一、mysql 复制表（结构+数据）的 4 种核心方法（面试结构化回答）方法 1：CREATE
阅读更多...
SpringCloud Stream 快速入门实例教程

SpringCloud Stream 快速入门实例教程

《SpringCloudStream快速入门实例教程》本文介绍了SpringCloudStream（SCS）组件在分布式系统中的作用,以及如何集成到SpringBoot项目中,通过SCS,可... 目录1.SCS 组件的出现的背景和作用2.SCS 集成srping Boot项目3.Yml 配置4.Sprin
阅读更多...
SpringBoot集成iText快速生成PDF教程

SpringBoot集成iText快速生成PDF教程

《SpringBoot集成iText快速生成PDF教程》本文介绍了如何在SpringBoot项目中集成iText9.4.0生成PDF文档,包括新特性的介绍、环境准备、Service层实现、Contro... 目录SpringBoot集成iText 9.4.0生成PDF一、iText 9新特性与架构变革二、环
阅读更多...
pandas使用apply函数给表格同时添加多列

pandas使用apply函数给表格同时添加多列

《pandas使用apply函数给表格同时添加多列》本文介绍了利用Pandas的apply函数在DataFrame中同时添加多列,文中通过示例代码介绍的非常详细,对大家的学习或者工作具有一定的参考学习... 目录一、Pandas使用apply函数给表格同时添加多列二、应用示例一、Pandas使用apply函
阅读更多...
Python中Namespace()函数详解

Python中Namespace()函数详解

《Python中Namespace()函数详解》Namespace是argparse模块提供的一个类,用于创建命名空间对象,它允许通过点操作符访问数据,比字典更易读,在深度学习项目中常用于加载配置、命... 目录1. 为什么使用 Namespace？2. Namespace 的本质是什么？3. Namesp
阅读更多...
MySQL 批量插入的原理和实战方法(快速提升大数据导入效率)

MySQL 批量插入的原理和实战方法(快速提升大数据导入效率)

《MySQL批量插入的原理和实战方法(快速提升大数据导入效率)》在日常开发中,我们经常需要将大量数据批量插入到MySQL数据库中,本文将介绍批量插入的原理、实现方法,并结合Python和PyMySQ... 目录一、批量插入的优势二、mysql 表的创建示例三、python 实现批量插入1. 安装 PyMyS
阅读更多...
MySQL中如何求平均值常见实例(AVG函数详解)

MySQL中如何求平均值常见实例(AVG函数详解)

《MySQL中如何求平均值常见实例(AVG函数详解)》MySQLavg()是一个聚合函数,用于返回各种记录中表达式的平均值,：本文主要介绍MySQL中用AVG函数如何求平均值的相关资料,文中通过代... 目录前言一、基本语法二、示例讲解1. 计算全表平均分2. 计算某门课程的平均分（例如：Math）三、结合
阅读更多...

Copyright China编程 23002807@qq.com

沪ICP备2023033072号-2