本文主要是介绍算法学习14:数论(质数,约数,欧拉函数,快速幂),希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!
算法学习14:数论(质数,约数,欧拉函数,快速幂)
文章目录
- 算法学习14:数论(质数,约数,欧拉函数,快速幂)
- 前言
- 要记忆的模版:
- 一、质数
- 1.质数的判定:试除法
- 2.质因数的分解:试除法
- 3.筛质数:埃氏筛、线性筛
- 二、约数
- 1.试除法求约数
- 2.求约数个数、约数之和(懵懵的)
- 3.辗转相处法求最大公约数(欧几里得定理)
- 4.扩展欧几里得定理:
- 线性同余方程:(和扩展欧几里得定理一样,不太理解,待以后解决)
- 三、欧拉函数:1~n中,与n互质的数的个数叫做欧拉函数
- 1.例题1:求一个数n的欧拉函数phi(n)
- 2.例题2:给定一个正整数n,求1~n中每个数的欧拉函数之和
- 四、快速幂
- 1.例题:给定a,k,p,求出a^k mod p 的值
- 2.给定a,p,其中p是质数,求a%p的乘法逆元,不存在则输出impossible
- 在这里插入图片描述
- 总结
前言
数论这个不分涉及到很多**“数学推导”**的部分,自我感觉这部分很难去理解,一些点很乱,须要后面遇到实际问题的时候去优化。
须要达成的目标:了解一些简单的数论知识,有个印象。比如:筛,欧几里得定理,快速幂。
要记忆的模版:
// 试除法求约数:
bool is_prime(int n)
{if(n < 2) return false;for(int i = 2; i <= n / i; i ++)if(n % i == 0) return false;return true; } // 分解质因数:
void divide(int n)
{for(int i = 2; i <= n / i; i ++)if(n % i == 0){while(n % i == 0) n /= i;printf("%d", i);}if(n > 1) printf("%d", n); } // 例子:2310 = 2 * 3 * 5 * 7 * 11
// 24 = 2 * 2 * 2 * 3
提示:以下是本篇文章正文内容:
一、质数
1.质数的判定:试除法
bool is_prime(int n)
{if(n < 2) return false;for(int i = 2; i <= n / i; i ++)if(n % i == 0) return false;return true; }
2.质因数的分解:试除法
c++求解质因数,了解什么是质因数
void divide(int n)
{for(int i = 2; i <= n / i; i ++)if(n % i == 0){while(n % i == 0) n /= i;printf("%d", i);}if(n > 1) printf("%d", n); } // 例子:2310 = 2 * 3 * 5 * 7 * 11
// 24 = 2 * 2 * 2 * 3void divide(int n)
{int i = 2;do {while(n % i==0) {cout << i;n /= i;if(n != 1) cout<<"*";}i++;}while(n!=1);
}// 筛质数:
// 埃氏筛 (对朴素筛的优化) void get_prime(int n)
{for(int i = 2; i <= n; i ++){if(!st[i]) {primes[cnt ++] = i;// 标记质数的倍数 for(int j = i; j <= n; j += i) st[j] = true;}} } // 线性筛 void get_prime(int n)
{for(int i = 2; i <= n; i ++){if(!st[i]) primes[cnt ++] = i;for(in j = 0; primes[j] <= n / j; j ++){st[primes[j] * i] = true;if(i % primes[j] == 0) break; }}}
3.筛质数:埃氏筛、线性筛
// 例题:给定一个n,求出1~n中质数的个数。
int primes[N], cnt;
bool st[N];// false:质数, true:合数 // primes:存储的是质数,cnt:质数的个数 // 朴素筛法 void get_prime(int n)
{for(int i = 2; i <= n; i ++){if(!st[i]) primes[cnt ++] = i;// 标记倍数 for(int j = i; j <= n; j += i) st[j] = true;} } // 埃氏筛 (对朴素筛的优化) void get_prime(int n)
{for(int i = 2; i <= n; i ++){if(!st[i]) {primes[cnt ++] = i;// 标记质数的倍数 for(int j = i; j <= n; j += i) st[j] = true;}} } // 线性筛 void get_prime(int n)
{for(int i = 2; i <= n; i ++){if(!st[i]) primes[cnt ++] = i;for(in j = 0; primes[j] <= n / j; j ++){st[primes[j] * i] = true;if(i % primes[j] == 0) break; }}}
二、约数
1.试除法求约数
// 给定一个n,求出n的所有约数
vector<int> get_divisors(int n)
{for(int i = 1; i <= n / i; i ++)// 遍历 if(n % i == 0){res.push_back(i);// 防止i*i == n ,就是n是i的平方 if(i != n / i) res.push_back(n / i);}sort(res.begin(), res.end());return res;
}
2.求约数个数、约数之和(懵懵的)
// 给定n个整数,请求出这些数约数的个数,
// 请求出这些数的乘积的约数之和。
// 思考:求一个和求一堆是一样的问题
typedef long long LL;unorder_map<int, int> primes;
while(n --)
{int x;cin >> x;for(int i = 2; i <= x / i; i ++)while(x % i == 0){x /= i;primes[i] ++;// 哈希表的:key:i,value:++ }
}
LL res = 1;// res为约数的个数
for(auto prime : primes)
res = res * (prime.second + 1) % mod;LL res = 1;// res为约数之和
for(auto prime : primes)
{int p = prime.first, a = prime.second;LL t = 1;while(a --) t = (t * p + 1) % mod;res = res * t % mod;// 遍历完 }
3.辗转相处法求最大公约数(欧几里得定理)
求a和b的最大公约数
#include <iostream>using namespace std;int gcd(int a, int b)
{return b ? gcd(b, a % b) : a;
}int main()
{int n;scanf("%d", &n);while(n --){int a, b;scanf("%d%d", &a, &b);printf("%d\n", gcd(a, b));}return 0;
}
4.扩展欧几里得定理:
// 给定n对正整数a,b,对于每对数,求出一组x,y,使其满足ax = gcd(a,b);
// 还没理解清楚
#include <iostream>using namespace std;// 传递x,y的引用。
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{if(!b){x = 1, y = 0;return a;}int d = exgcd(b, a % b, y, x);y -= a / b * x;return d;// d???
}int main()
{int n;scanf("%d", &n);while(n --){int a, b, x, y;scanf("%d%d", &a, &b);exgcd(a, b, x, y);printf("%d %d", x, y);}return 0;
}
线性同余方程:(和扩展欧几里得定理一样,不太理解,待以后解决)
给定n组数据a,b,m,对于每一组数据,取出一个x,使其满足ax = b(%m)
三、欧拉函数:1~n中,与n互质的数的个数叫做欧拉函数
1.例题1:求一个数n的欧拉函数phi(n)
// 求一个数n的欧拉函数phi(n)
#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;int main()
{int n;cin >> n;while(n --){int a;cin >> a;int res = a;for(int i = 2; i <= a / i; i ++){if(a % i == 0){// res = res * (1 - 1 / a);res = res / a * (a - 1);// 对除号的变形 while(a % i == 0) a /= i;}}if(a > 1) res = res / a * (a - 1);cout << res << endl; } return 0;
}
2.例题2:给定一个正整数n,求1~n中每个数的欧拉函数之和
// 给定一个正整数n,求1~n中每个数的欧拉函数之和
#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;typedef long long LL;const int N = 1e6 + 10;int primes[N], cnt;
int phi[N];
bool st[N];LL get_eulers(int n)
{phi[1] = 1;for(int i = 2; i <= n; i ++){if(!st[i]){primes[cnt ++] = i;phi[i] = i - 1;// 注意1.}for(int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++){st[primes[j] * i] = true;if(i % primes[j] == 0) {phi[primes[j] * i] = phi[i] * primes[j];// 注意2 break;}phi[primes[j] * i] = phi[i] * (primes[j] - 1);// 注意3 }}LL res = 0;for(int i = 1; i <= n; i ++) res += phi[i];// 注意4 return res;
}int main()
{int n;cin >> n;cout << get_eulers(n) << endl; return 0;
}
四、快速幂
1.例题:给定a,k,p,求出a^k mod p 的值
#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;typedef long long LL;// a^k mod p
int qmi(int a, int k, int p)
{int res = 1;while(k){// k的二进制末位为1 if(k & 1) res = (LL) res * a % p;k >>= 1;a = (LL) a * a % p;// a的平方 }return res;
}int main()
{int n;scanf("%d", &n);while(n --){int a, k, p;scanf("%d%d%d", &a, &k, &p);printf("%d", qmi(a, k, p));}return 0;}
2.给定a,p,其中p是质数,求a%p的乘法逆元,不存在则输出impossible
总结
提示:这里对文章进行总结:
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