算法学习14：数论（质数，约数，欧拉函数，快速幂）

2024-03-31 14:36
文章标签 算法 函数 学习 快速 质数 14 欧拉 数论 约数

本文主要是介绍算法学习14：数论（质数，约数，欧拉函数，快速幂），希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

算法学习14：数论（质数，约数，欧拉函数，快速幂）

文章目录

  • 算法学习14：数论（质数，约数，欧拉函数，快速幂）
  • 前言
  • 要记忆的模版：
  • 一、质数
    • 1.质数的判定：试除法
    • 2.质因数的分解：试除法
    • 3.筛质数：埃氏筛、线性筛
  • 二、约数
    • 1.试除法求约数
    • 2.求约数个数、约数之和（懵懵的）
    • 3.辗转相处法求最大公约数（欧几里得定理）
    • 4.扩展欧几里得定理：
      • 线性同余方程：（和扩展欧几里得定理一样，不太理解，待以后解决）
  • 三、欧拉函数：1~n中，与n互质的数的个数叫做欧拉函数
    • 1.例题1：求一个数n的欧拉函数phi（n）
    • 2.例题2：给定一个正整数n，求1~n中每个数的欧拉函数之和
  • 四、快速幂
    • 1.例题：给定a，k，p，求出a^k mod p 的值
    • 2.给定a，p，其中p是质数，求a%p的乘法逆元，不存在则输出impossible
    • 在这里插入图片描述
  • 总结

前言

数论这个不分涉及到很多**“数学推导”**的部分，自我感觉这部分很难去理解，一些点很乱，须要后面遇到实际问题的时候去优化。

须要达成的目标：了解一些简单的数论知识，有个印象。比如：筛，欧几里得定理，快速幂。

在这里插入图片描述

要记忆的模版：

// 试除法求约数：
bool is_prime(int n)
{if(n < 2) return false;for(int i = 2; i <= n / i; i ++)if(n % i == 0) return false;return true; } // 分解质因数：
void divide(int n)
{for(int i = 2; i <= n / i; i ++)if(n % i == 0){while(n % i == 0) 	n /= i;printf("%d", i);}if(n > 1) printf("%d", n);					} // 例子：2310 = 2 * 3 * 5 * 7 * 11 
// 24 = 2 * 2 * 2 * 3

提示：以下是本篇文章正文内容：

一、质数

1.质数的判定：试除法

bool is_prime(int n)
{if(n < 2) return false;for(int i = 2; i <= n / i; i ++)if(n % i == 0) return false;return true; }

2.质因数的分解：试除法

c++求解质因数，了解什么是质因数

void divide(int n)
{for(int i = 2; i <= n / i; i ++)if(n % i == 0){while(n % i == 0) 	n /= i;printf("%d", i);}if(n > 1) printf("%d", n);					} // 例子：2310 = 2 * 3 * 5 * 7 * 11 
// 24 = 2 * 2 * 2 * 3void divide(int n)
{int i = 2;do {while(n % i==0) {cout << i;n /= i;if(n != 1) cout<<"*";}i++;}while(n!=1);
}// 筛质数：
// 埃氏筛 （对朴素筛的优化） void get_prime(int n)
{for(int i = 2; i <= n; i ++){if(!st[i]) {primes[cnt ++] = i;// 标记质数的倍数 for(int j = i; j <= n; j += i) st[j] = true;}} } // 线性筛 void get_prime(int n)
{for(int i = 2; i <= n; i ++){if(!st[i]) primes[cnt ++] = i;for(in j = 0; primes[j] <= n / j; j ++){st[primes[j] * i] = true;if(i % primes[j] == 0) break; }}}

3.筛质数：埃氏筛、线性筛

在这里插入图片描述

// 例题：给定一个n，求出1~n中质数的个数。
int primes[N], cnt;
bool st[N];// false：质数， true：合数 // primes：存储的是质数，cnt：质数的个数 // 朴素筛法 void get_prime(int n)
{for(int i = 2; i <= n; i ++){if(!st[i]) primes[cnt ++] = i;// 标记倍数 for(int j = i; j <= n; j += i) st[j] = true;} } // 埃氏筛 （对朴素筛的优化） void get_prime(int n)
{for(int i = 2; i <= n; i ++){if(!st[i]) {primes[cnt ++] = i;// 标记质数的倍数 for(int j = i; j <= n; j += i) st[j] = true;}} } // 线性筛 void get_prime(int n)
{for(int i = 2; i <= n; i ++){if(!st[i]) primes[cnt ++] = i;for(in j = 0; primes[j] <= n / j; j ++){st[primes[j] * i] = true;if(i % primes[j] == 0) break; }}}

二、约数

1.试除法求约数

// 给定一个n，求出n的所有约数
vector<int> get_divisors(int n)
{for(int i = 1; i <= n / i; i ++)// 遍历 if(n % i == 0){res.push_back(i);// 防止i*i == n ，就是n是i的平方 if(i != n / i) res.push_back(n / i);}sort(res.begin(), res.end());return res;
}

2.求约数个数、约数之和（懵懵的）

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

// 给定n个整数，请求出这些数约数的个数，
// 请求出这些数的乘积的约数之和。
// 思考：求一个和求一堆是一样的问题
typedef long long LL;unorder_map<int, int> primes;
while(n --)
{int x;cin >> x;for(int i = 2; i <= x / i; i ++)while(x % i == 0){x /= i;primes[i] ++;// 哈希表的：key：i，value：++ }
}
LL res = 1;// res为约数的个数 
for(auto prime : primes) 
res = res * (prime.second + 1) % mod;LL res = 1;// res为约数之和 
for(auto prime : primes)
{int p = prime.first, a = prime.second;LL t = 1;while(a --) t = (t * p + 1) % mod;res = res * t % mod;// 遍历完 }

3.辗转相处法求最大公约数（欧几里得定理）

求a和b的最大公约数

#include <iostream>using namespace std;int gcd(int a, int b)
{return b ? gcd(b, a % b) : a;
}int main()
{int n;scanf("%d", &n);while(n --){int a, b;scanf("%d%d", &a, &b);printf("%d\n", gcd(a, b));}return 0;
}

在这里插入图片描述

4.扩展欧几里得定理：

在这里插入图片描述

// 给定n对正整数a，b，对于每对数，求出一组x，y，使其满足ax = gcd（a，b）；
// 还没理解清楚 
#include <iostream>using namespace std;// 传递x，y的引用。 
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{if(!b){x = 1, y = 0;return a;}int d = exgcd(b, a % b, y, x);y -= a / b * x;return d;// d??? 
}int main()
{int n;scanf("%d", &n);while(n --){int a, b, x, y;scanf("%d%d", &a, &b);exgcd(a, b, x, y);printf("%d %d", x, y);}return 0;
}

线性同余方程：（和扩展欧几里得定理一样，不太理解，待以后解决）

给定n组数据a，b，m，对于每一组数据，取出一个x，使其满足ax = b（%m）

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

三、欧拉函数：1~n中，与n互质的数的个数叫做欧拉函数

在这里插入图片描述

1.例题1：求一个数n的欧拉函数phi（n）

// 求一个数n的欧拉函数phi（n）
#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;int main()
{int n;cin >> n;while(n --){int a;cin >> a;int res = a;for(int i = 2; i <= a / i; i ++){if(a % i == 0){// res = res * (1 - 1 / a);res = res / a * (a - 1);// 对除号的变形 while(a % i == 0) a /= i;}}if(a > 1) res = res / a * (a - 1);cout << res << endl; } return 0;
}

在这里插入图片描述

2.例题2：给定一个正整数n，求1~n中每个数的欧拉函数之和

// 给定一个正整数n，求1~n中每个数的欧拉函数之和
#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;typedef long long LL;const int N = 1e6 + 10;int primes[N], cnt;
int phi[N];
bool st[N];LL get_eulers(int n)
{phi[1] = 1;for(int i = 2; i <= n; i ++){if(!st[i]){primes[cnt ++] = i;phi[i] = i - 1;// 注意1.}for(int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++){st[primes[j] * i] = true;if(i % primes[j] == 0) {phi[primes[j] * i] = phi[i] * primes[j];// 注意2 break;}phi[primes[j] * i] = phi[i] * (primes[j] - 1);// 注意3 }}LL res = 0;for(int i = 1; i <= n; i ++) res += phi[i];// 注意4 return res; 
}int main()
{int n;cin >> n;cout << get_eulers(n) << endl;	return 0;
}

在这里插入图片描述

四、快速幂

1.例题：给定a，k，p，求出a^k mod p 的值

在这里插入图片描述

#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;typedef long long LL;// a^k mod p
int qmi(int a, int k, int p)
{int res = 1;while(k){// k的二进制末位为1 if(k & 1) res = (LL) res * a % p;k >>= 1;a = (LL) a * a % p;// a的平方 }return res;
}int main()
{int n;scanf("%d", &n);while(n --){int a, k, p;scanf("%d%d%d", &a, &k, &p);printf("%d", qmi(a, k, p));}return 0;}

在这里插入图片描述

2.给定a，p，其中p是质数，求a%p的乘法逆元，不存在则输出impossible

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在这里插入图片描述

总结

提示：这里对文章进行总结：
💕💕💕

这篇关于算法学习14：数论（质数，约数，欧拉函数，快速幂）的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！


http://www.chinasem.cn/article/864567。

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