BZOJ 1096 [ZJOI2007]仓库建设动态规划+斜率优化

本文主要是介绍BZOJ 1096 [ZJOI2007]仓库建设动态规划+斜率优化，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

Description

　　L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。如图所示，工厂1在山顶，工厂N在山脚。由于这座山处于高原内
陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象
部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于
地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库
的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设
置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，
假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到
以下数据：1：工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;2：工厂i目前已有成品数量Pi;:3：在工厂i建立仓库的费用
Ci;请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。

Input

　　第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

Output

　　仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。

Sample Input

3
0 5 10
5 3 100
9 6 10

Sample Output

HINT

在工厂1和工厂3建立仓库，建立费用为10+10=20，运输费用为(9-5)*3 = 12，总费用32。如果仅在工厂3建立仓库，建立费用为10，运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57，总费用67，不如前者优。

【数据规模】

对于100%的数据， N ≤1000000。所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过64位带符号整数。

传送门

考虑一个工厂，可以建仓库或者不建仓库搬到后面的某个仓库里；

用f[i]表示i工厂建立仓库，前u个仓库的成品都搬运完毕的最小花费。

那么枚举一个j，假设(j+1)~i都没有建过仓库，

根据贪心的思想我们知道(j+1)~i肯定都运到i工厂去了，

那么f[i]=f[j]+(j+1)~(i-1)都运到i的费用cost[j+1..i]+C[i]

其中，

cost[j+1..i]=p[j+1]*(x[i]-x[j+1])+p[j+2]*(x[i]-x[j+2])+……+p[i-1]*(x[i]-x[i-1])
=x[i]*(p[j+1]+p[j+2]+……+p[i-1])-p[j+1]*x[j+1]-……-p[i-1]*x[i-1]

对p作前缀和sump，对p*x作前缀和sumpx，那么

cost[j+1..i]=x[i]*sump[j+1..i-1]-sumpx[j+1..i-1]

也就是说，这就得到了一个O(N^2)的算法。

接下来就是一个普通的斜率优化……

直接用double比较斜率竟然过了= =

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=1000005;
int n,Q[N];
ll x[N],P[N],C[N];
ll sump[N],sumpx[N];
ll f[N];
double xl(int j,int k){return (double)(f[j]-f[k]+sumpx[j]-sumpx[k])/(double)(sump[j]-sump[k]);
}
ll ANS(int i,int j){return f[j]+C[i]+x[i]*(sump[i-1]-sump[j])-(sumpx[i-1]-sumpx[j]);
}
int main(){scanf("%d",&n);sump[0]=sumpx[0]=0LL;for (int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld%lld%lld",&x[i],&P[i],&C[i]),sump[i]=sump[i-1]+P[i],sumpx[i]=sumpx[i-1]+P[i]*x[i];memset(f,100,sizeof(f));f[0]=0,Q[1]=0;int head=1,tail=1;for (int i=1;i<=n;i++){while (head<tail && ANS(i,Q[head])>ANS(i,Q[head+1])) head++;f[i]=ANS(i,Q[head]);while (head<tail && xl(Q[tail],i)<xl(Q[tail-1],Q[tail])) tail--;Q[++tail]=i;}printf("%lld\n",f[n]);return 0;
}

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