BZOJ 1096 [ZJOI2007]仓库建设 动态规划+斜率优化

2024-03-30 16:48

本文主要是介绍BZOJ 1096 [ZJOI2007]仓库建设 动态规划+斜率优化,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

Description

  L公司有N个工厂,由高到底分布在一座山上。如图所示,工厂1在山顶,工厂N在山脚。由于这座山处于高原内
陆地区(干燥少雨),L公司一般把产品直接堆放在露天,以节省费用。突然有一天,L公司的总裁L先生接到气象
部门的电话,被告知三天之后将有一场暴雨,于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于
地形的不同,在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件,在第i个工厂位置建立仓库
的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂,其产品应被运往其他的仓库进行储藏,而由于L公司产品的对外销售处设
置在山脚的工厂N,故产品只能往山下运(即只能运往编号更大的工厂的仓库),当然运送产品也是需要费用的,
假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的,可以容下所有的产品。你将得到
以下数据:1:工厂i距离工厂1的距离Xi(其中X1=0);2:工厂i目前已有成品数量Pi;:3:在工厂i建立仓库的费用
Ci;请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案,使得总的费用(建造费用+运输费用)最小。

Input

  第一行包含一个整数N,表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

Output

  仅包含一个整数,为可以找到最优方案的费用。

Sample Input

3
0 5 10
5 3 100
9 6 10

Sample Output

32

HINT

在工厂1和工厂3建立仓库,建立费用为10+10=20,运输费用为(9-5)*3 = 12,总费用32。如果仅在工厂3建立仓库,建立费用为10,运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57,总费用67,不如前者优。

【数据规模】

对于100%的数据, N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内,保证中间计算结果不超过64位带符号整数。






传送门
考虑一个工厂,可以建仓库或者不建仓库搬到后面的某个仓库里;
用f[i]表示i工厂建立仓库,前u个仓库的成品都搬运完毕的最小花费。
那么枚举一个j,假设(j+1)~i都没有建过仓库,
根据贪心的思想我们知道(j+1)~i肯定都运到i工厂去了,
那么f[i]=f[j]+(j+1)~(i-1)都运到i的费用cost[j+1..i]+C[i]
其中,
cost[j+1..i]=p[j+1]*(x[i]-x[j+1])+p[j+2]*(x[i]-x[j+2])+……+p[i-1]*(x[i]-x[i-1])
            =x[i]*(p[j+1]+p[j+2]+……+p[i-1])-p[j+1]*x[j+1]-……-p[i-1]*x[i-1]
对p作前缀和sump,对p*x作前缀和sumpx,那么
cost[j+1..i]=x[i]*sump[j+1..i-1]-sumpx[j+1..i-1]
也就是说, 这就得到了一个O(N^2)的算法。

接下来就是一个普通的斜率优化……
直接用double比较斜率竟然过了= =



#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=1000005;
int n,Q[N];
ll x[N],P[N],C[N];
ll sump[N],sumpx[N];
ll f[N];
double xl(int j,int k){return (double)(f[j]-f[k]+sumpx[j]-sumpx[k])/(double)(sump[j]-sump[k]);
}
ll ANS(int i,int j){return f[j]+C[i]+x[i]*(sump[i-1]-sump[j])-(sumpx[i-1]-sumpx[j]);
}
int main(){scanf("%d",&n);sump[0]=sumpx[0]=0LL;for (int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld%lld%lld",&x[i],&P[i],&C[i]),sump[i]=sump[i-1]+P[i],sumpx[i]=sumpx[i-1]+P[i]*x[i];memset(f,100,sizeof(f));f[0]=0,Q[1]=0;int head=1,tail=1;for (int i=1;i<=n;i++){while (head<tail && ANS(i,Q[head])>ANS(i,Q[head+1])) head++;f[i]=ANS(i,Q[head]);while (head<tail && xl(Q[tail],i)<xl(Q[tail-1],Q[tail])) tail--;Q[++tail]=i;}printf("%lld\n",f[n]);return 0;
}

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