Logistic回归代价函数的数学推导及实现

本文主要是介绍Logistic回归代价函数的数学推导及实现，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

logistic回归的代价函数形式如下：
$$J(\theta )=-\frac{1}{m}\left[\sum _{i=1}^m{y}^{(i)}\log h_{\theta }(x^{(i)})+(1-y^{(i)})\log (1-h_{\theta }(x^{(i)}))\right]$$

可是这又是怎么来的呢？ 答：最大似然估计计算出来的

1.最大似然估计

我们先来简单的回顾一下最大似然估计(Maximum likelihood estimation),详细戳此处,见参数估计

所谓参数估计就是：对未知参数$\theta$进行估计时，在参数可能的取值范围内选取，使“样本获得此观测值$x_1,x_2...,x_n$"的概率最大的参数$\hat{\theta }$作为$\theta$的估计，这样选定的$\hat{\theta }$有利于$x_1,x_2...,x_n$"的出现。也就是说在已知数据集（结果）和模型（分布函数）的情况下，估计出最适合该模型的参数。

举个例子：

假设你有一枚硬币，随机抛10次；现在的结果是6次正面。我们都知道，抛一枚硬币，正面朝上和反面朝上的概率均是θ=0.5；但前提时，这是在大量的实验（抛硬币）情况下才有的结论。那在我们这个情况下，参数θ到底取何值时才能使得出现6次正面的肯能性最大呢？

我们知道，抛硬币是符合二项分布B(n,p)，也就是说我们现在已知样本结果以及函数分布，估计出使得该结果最大可能出现的参数$\hat{\theta }$。则有：
$$\mathrm{L}=P(X=6)={\mathrm{C}}_{10}^6{\hat{\theta }}^6(1-\hat{\theta }{)}^4$$

而我们接下来要做的就是求当$\mathrm{L}$取最大值时，$\hat{\theta }$的值。我们很容易求得当$\hat{\theta }=0.6$时$\mathrm{L}$取得最大值0.25；而当$\hat{\theta }=0.5$时，$\mathrm{L}=0.21$

再假设你有一枚硬币，随机抛10次；现在的结果是7次正面。则此时使得该结果最大可能性出现参数$\hat{\theta }$又是多少呢？按照上面的方法我们很容易求得当$\hat{\theta }=0.7$时可能性最大。

再举个例子：

明显，在Logistic回归中，所有样本点也服从二项分布；设有$x_1,x_2,x_3$三个样本点，其类标为$1,1,0$；同时设样本点为1的概率为$P=h_{\theta }(x)$，那么当$P$等于多少时，其结果才最可能出现$1,1,0$呢？于是问题就变成最大化：
P ∗ P ( 1 − P ) = h θ ( x 1 ) ∗ h θ ( x 2 ) ∗ ( 1 − h θ ( x 3 ) ) P*P(1-P)=h_{\theta}(x_1)*h_{\theta}(x_2)*(1-h_{\theta}(x_3)) P∗P(1−P)=hθ​(x1​)∗hθ​(x2​)∗(1−hθ​(x

这篇关于Logistic回归代价函数的数学推导及实现的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

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