带你重拾线性代数

本文主要是介绍带你重拾线性代数，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

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说明：

1. 文中所有涉及到的矩阵，若未做特殊说明均为方阵

一、向量的表示方法

1.1 引言

在二维平面中，我们都知道可以用有序实数对来表示一个向量，例如：$u=（4,2）$。它表示一条从原点出发，到达点(4,2)的有向线段。如下图所示：

但是一个向量为什么可以这样表示呢？它到底有着怎样的含义？

1.2 基

从1.1我们知道，一个向量可以表示成如(4,2)这样的形式。但这是怎么来的呢？如上图所示，我们将向量$u$分别在x轴和y轴上做投影，我们发现此时我们得到了4,2这两个数，这是巧合么？不过这当然不是。其原因是因为默认情况下，我们都选择了$i=(1,0)^T,j=(0,1)^T$来当作我们的基向量；而向量$u=(4,2)$所表示的含义就是，先$i$的方向移动4个单位，再向$j$的方向移动2个单位，这样便得到了向量(4,2)，如下图：

因此，我们称$u=(4,2)^T$为$i,j$的线性组合，即$u=4\cdot i+2\cdot j$。同时，由于$i,j$的模长为1，且相互垂直，我们称其为标准正交基。

但是，如果我们选择其它不同的基向量，又会是怎么样呢？

二、矩阵与矩阵乘法

先给出结论：矩阵的本质是表示某个线性变换的操作步骤，而矩阵的乘法就是实施这个线性变换。

2.1 矩阵的概念

上一章我们谈到了向量，知道向量其实是一组（线性无关）基的线性组合。而我们把由多个向量拼接在一起的m行n列的矩形表格称之为矩阵，若m=n，则称之为n阶矩（方）阵。

2.2 矩阵及矩阵乘法的本质

矩阵的本质是什么？下面我们通过两个例子来说明。

例1.
我们知道在平面直角坐标系中，我们默认用的基向量分别是$i=(1,0)^T,j=(0,1)^T$，如下图所示：

现有向量$\alpha=(\frac{3}{\sqrt{2}},\frac{3}{\sqrt{2}})$，矩阵

$$U=\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}$$
则： $\beta=U\alpha^T=[0,3]^T$。我们发现，向量 $\beta$是向量 $\alpha$逆时针旋转45度之后的结果。那么矩阵U的作用就是将原有的坐标系旋转45度吗？答案是肯定的。
矩阵U告诉我们，他的作用是将原有的坐标系

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