【学习笔记】奥本海姆第二版《信号与系统》第三章：周期信号的傅里叶级数表示

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【学习笔记】奥本海姆第二版《信号与系统》第二章：线性时不变系统

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一、连续时间周期信号的傅里叶级数表示

1.1 成谐波关系的复指数信号的线性组合

已知一个信号是周期的，那么对所有的 $t$，存在某个正值$T$，有
$$x(t)=x(t+T)$$
$x(t)$的基波周期就是$T$，而$\omega =\frac{2\pi }{T}$称为基波频率。

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两个基本的周期信号，即正弦信号：
$$x(t)=cos({\omega }_{0}t)$$
和周期复指数信号：
$$x(t)=e^{j{\omega }_{0}t}$$
两个信号都是周期的，而且其基波频率为${\omega }_0$，基波周期$T=\frac{2\pi }{{\omega }_0}$。与上式有关的谐波关系的复指数信号集就是：

$$\Phi =e^{jk{\omega }_{0}t}=e^{j\frac{2\pi }{T}t},k=0,\pm 1，\pm \mathrm{2.......}$$
这些信号中的每一个都有一个基波频率，它是${\omega }_0$的倍数。因此每一个信号对周期T来说都是周期的。于是，一个由成谐波关系的复指数线性组合形成的信号：
$$x(t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t}=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k{e}^{j\frac{2\pi }{T}t},k=0,\pm 1，\pm \mathrm{2.......}$$
对T来说也是周期的，其中k=0时，x(t)为一个常数，k=±1时，基波频率等于${\omega }_0$，两者合在一起称为基波分量，k=±2时，称为二次谐波，k=±N时，称为N次谐波

一个周期信号表示成上式就称为傅里叶级数

1.2 连续时间周期信号傅里叶级数表示的确定

$$a_n=\frac{1}{T}{\int }_{T}x(t)e^{-jn{\omega }_{0}t}dt$$
上述过程可归纳如下：如果x(t)有一个傅里叶级数表示式，即x(t)能表示成一组成谐波关系的复指数信号的线性组合，如傅里叶级数所示，那么傅里叶级数中的系数就由上式所确定。这一对关系式就定义为一个周期连续时间信号的傅里叶级数：

$$x(t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t}=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k{e}^{jk\frac{2\pi }{T}t}$$
$$a_k=\frac{1}{T}{\int }_{T}x(t)e^{-jk{\omega }_{0}t}dt=\frac{1}{T}{\int }_{T}x(t)e^{-jk\frac{2\pi }{T}t}dt$$

其中分别给出了用基波频率${\omega }_0$和基波周期$T$表示的傅里叶级数的等效表示式。
第一个式称为综合公式，而第二个式则称为分析公式。

系数{$a_k$} 往往称为$x(t)$的傅里叶数级系数 或称为x(t)的频谱系数。这些复数系数是对信号$x(t)$中的每一个谐波分量大小的度量。系数$a_0$就是$x(t)$中的直流或常数分量，由式第二个式以k = 0代人可得：

$$a_0=\frac{1}{T}{\int }_{T}x(t)dt$$

二、傅里叶级数的收敛

需要满足狄里赫利条件的周期信号可以表示成傅里叶级数形式：

• 条件一：在任何周期内，$x(t)$绝对可积，即：

$${\int }_T|x(t)|dt<\infty$$
这一条件保证了每一项系数$a_k$都是有限值

• 条件二：在任意有限区间内，$x(t)$具有有限个起伏变化；也就是说，在任何单个周期内，x(t)的最大值和最小值的数目有限。

• 条件三：在$x(t)$的任何有限区间内，只有有限个不连续点，而且在这些不连续点上，函数是有限值。

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三、连续时间傅里叶级数性质

用一种简便的符号来表明一个周期信号及其傅里叶级数之间的关系，即假设$x(t)$是一个周期信号，周期为 $T$，基波频率$\omega =\frac{2\pi }{T}$。那么，若$x(t)$的傅里叶级数系数记为$a_k$，则用：
$$x(t)\stackrel{ϝS}{⟷}{a}_k$$
来表示一个周期信号及其傅里叶级数系数的一对关系。

3.1 线性性质

令 $x(t)$和$y(t)$为两个周期信号，周期为$T$，它们的傅里叶级数系数分别为$a_k$ 和$b_k$，即：
$$x(t)\stackrel{ϝS}{⟷}{a}_k$$
$$y(t)\stackrel{ϝS}{⟷}{b}_k$$
因为$x(t)$和 $y(t)$具有相同的周期$T$，因此极易得出这两个信号的任意线性组合也一定是周期的且周期为 $T$。而且，$x(t)$和$y(t)$的线性组合$z(t)=Ax(t)+By(t)$的傅里叶级数系数$c_k$由$x(t)$和$y(t)$的傅里叶级数系数的同一线性组合给出，即
$$z(t)=Ax(t)+By(t)\stackrel{ϝS}{⟷}{c}_k=A{a}_k+B{b}_k$$

3.2 时移性质

当给一个周期信号$x(t)$以某个$t_0$时移时，该信号的周期$T$保持不变，所得到的信号$y(t)=x(t-t_0)$的傅里叶级数系数$b_k$可以表示为：
$$b_k=\frac{1}{T}{\int }_{T}x(t-t_0)e^{-jk{\omega }_{0}t}dt$$
令$\tau =t-t_0$，于是可得
$$\frac{1}{T}{\int }_{T}x(\tau )e^{-jk{\omega }_0(\tau +t_0)}d\tau =e^{-jk{\omega }_0{t}_0}\frac{1}{T}{\int }_{T}x(\tau )e^{-jk{\omega }_0\tau }d\tau =e^{-jk{\omega }_0{t}_0}{a}_k$$
也就是说，如果：
$$x(t)\stackrel{ϝS}{⟷}{a}_k$$
那么：
$$x(t-t_0)\stackrel{ϝS}{⟷}{e}^{-jk{\omega }_0{t}_0}{a}_k$$
这个性质的一个结果就是：当一个周期信号在时间上移位时，它的傅里叶级数系数的模保持不变，即l$b_k$l= l$a_k$l

3.3 时间反转

当一个周期信号$x(t)$经过时间反转后，其周期$T$仍然保持不变，根据综合公式：
$$x(-t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k{e}^{-jk\frac{2\pi }{T}t}$$
用$k=-m$得：
$$y(t)=x(-t)=\sum _{m=-\infty }^{+\infty }{a}_{-m}{e}^{jm\frac{2\pi }{T}t}$$
所以，若：
$$x(t)\stackrel{ϝS}{⟷}{a}_k$$
则：
$$x(-t)\stackrel{ϝS}{⟷}{a}_{-k}$$

3.4 时域变换尺度

时域尺度变换一般来说会改变变换信号的周期。如果$x(t)$是周期的，周期为 $T$，基波频率 ${\omega }_0=\frac{2\pi }{T}$，那么$x(\alpha t)$，$\alpha$为一个正实数，就是一个周期为$\frac{T}{\alpha }$ 且基波频率为$\alpha {\omega }_0$的周期信号。因为时间尺度运算是直接加在$x(t)$的每一次谐波分量上的，所以能很容易得出，这些谐波分量中每一个的傅里叶系数仍是相同的:
$$x(\alpha t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k{e}^{jk(\alpha {\omega }_0)t}$$
就是$x(\alpha t)$的傅里叶级数表示。要强调的是，虽然傅里叶系数没有改变，但由于基波频率变化了，傅里叶级数表示却改变了。

3.5 相乘

假设 $x(t)$和$y(t)$为两个周期信号，周期为$T$，它们的傅里叶级数系数分别为$a_k$ 和$b_k$，即：
$$x(t)\stackrel{ϝS}{⟷}{a}_k$$
$$y(t)\stackrel{ϝS}{⟷}{b}_k$$
则有：
$$x(t)y(t)\stackrel{ϝS}{⟷}{h}_k=\sum _{l=-\infty }^{+\infty }{a}_l{b}_{k-1}$$

3.6 连续时间傅里叶级数性质列表

四、离散时间周期信号的傅里叶级数表示

4.1 成谐波关系的复指数信号的线性组合

正如第1章所定义的，一个离散时间信号$x[n]$，若有
$$x[n]=x[n+N]$$
就是一个周期为$N$的周期信号。基波周期就是使上式成立的最小正整数$N$，而${\omega }_0=\frac{2\pi }{N}$就是基波频率
$$x[n]=\sum _k{a}_k{\Phi }_k[n]=\sum _k{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}n},k=0,\pm 1，\pm \mathrm{2.......}$$
上式被称为离散时间傅里叶级数，系数$a_k$称为傅里叶级数系数

4.2 周期信号傅里叶级数表示的确定

离散时间傅里叶级数对就为：
$$x[n]=\sum _k{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}n}=\sum _k{a}_k{e}^{jk(\frac{2\pi }{N})n}$$
$$a_k=\frac{1}{N}\sum _{n=N}x[n]e^{-jk{\omega }_{0}n}=\frac{1}{N}\sum _{n=N}x[n]e^{-jk(\frac{2\pi }{N})n}$$

五、 离散时间傅里叶级数性质

与连续时间情况相同，用一种简便的符号来表明一个周期信号及其傅里叶级数之间的关系，即假设$x[n]$是一个周期信号，周期为 $N$，傅里叶级数系数记为$a_k$，则：
$$x[n]\stackrel{ϝS}{⟷}{a}_k$$

5.1 相乘

假设 $x[n]$和$y[n]$为两个周期信号，周期为$N$，它们的傅里叶级数系数分别为$a_k$ 和$b_k$，即：
$$x[n]\stackrel{ϝS}{⟷}{a}_k$$
$$y[n]\stackrel{ϝS}{⟷}{b}_k$$
则有：
$$x[n]y[n]\stackrel{ϝS}{⟷}{d}_k=\sum _{l=N}{a}_l{b}_{k-1}$$

5.2 一次差分

假设 $x[n]$为周期信号，周期为$N$，它的傅里叶级数系数为 $a_k$，即：
$$x[n]\stackrel{ϝS}{⟷}{a}_k$$
则对应于$x[n]$一次差分的傅里叶系数可表示成
$$x[n]-x[n-1]\stackrel{ϝS}{⟷}(1-e^{-jk(\frac{2\pi }{N})})a_k$$

5.3 离散时间周期信号的帕斯瓦尔定理

离散时间周期信号的帕斯瓦尔定理是:
$$\frac{1}{N}\sum _{n=N}|x[n]{|}^2=\sum _{k=N}|a_k{|}^2$$

六、滤波

在各种不同的应用中，改变一个信号中各频率分量的相对大小，或者全部消除某些频率分量之类的要求，常常是颇受关注的，这样一种过程称为滤波(filter)。用于改变频谱形状的线性时不变系统往往称为频率成形滤波器(frequency-shapingfilter)。专门设计成基本上无失真地通过某些频率，而显著地衰减掉或消除掉另一些频率的系统称为频率选择性滤波器(frequency-selectiveflter)。

频率选择性滤波器是一类专门用于完全地或近似地选取某些频带范围内的信号和除掉其他频带范围内信号的滤波器。例如，在一个音频录制系统中，如果噪声比录制的音乐或声音的频率更高，就可以通过频率选择性滤波器将噪声滤除掉、幅度调制(AM)系统的基础就是利用许多频率选择性滤波器，把来自不同信源的各种待发送的信号，安排在彼此分开的频带内，然后组合起来一起发送；而在接收端，还是利用这类滤波器从这单一信道内提取出各路信号。用于划分信道的频率选择性滤波器和用于调节音质的频率成形滤波器是构成所有家用收音机和电视接收机的一个主要部分。例如，一个低通滤波器(lowpass filter)就是通过低频(即在ω=0附近的频率)，而衰减或阻止较高频率的滤波器。一个高通滤波器(highpass filter)就是通过高频而衰减或阻止较低频率的滤波器；带通滤波器(bandpass flter)就是通过某一频带范围，而衰减掉既高于又低于所要通过的这段频带的滤波器。在每一种情况下，截止频率(cutoff frequency)都是用来定义那些边界频率的，以标明要通过的频率与要阻止的频率之间的边界，也就是在通带(passband)和阻带(stopband)内频率的边界。

下图是理想低通滤波器的频率响应：

下图是理想高通滤波器的频率响应：

下图是理想带通滤波器的频率响应：

七、小结

本章对连续时间和离散时间系统引入并建立了傅里叶级数表示，而且利用这些表示初步涉及了信号与系统分析方法中的一个重要应用领域-滤波。利用傅里叶级数的主要原因就是由于复指数信号是线性时不变系统的特征函数的关系。任何具有实际意义的周期信号都可以表示成一个傅里叶级数，也就是成谐波关系的复指数信号的加权和，并与被表示的信号具有相同的周期。另外还看到，傅里叶级数表示具有许多重要的性质，这些性质体现了信号的各种特征如何反映到它们的傅里叶级数系数中。傅里叶级数最重要的性质之一是复指数特征函数性质的一个直接结果，这就是：若一个周期信号加到一个线性时不变系统上，那么输出也一定是周期的，且与输入信号的周期相同，并且输出的每一个傅里叶系数就是对应的输入傅里叶系数乘以复指数，该复指数的值是相应于傅里叶系数的那个频率的函数。这一频率函数是该线性时不变系统的表征，称为该系统的频率响应考察系统的频率响应就能直接导得利用线性时不变系统对信号进行过滤的思想，这是一个具有很多应用的概念，一个重要的应用是有关频率选择性滤波的概念也就是利用线性时不变系统通过某些给定频带的频率，而阻止或显著衰减掉其余频率的概念。

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