电力电子论文中的正弦激励响应公式推导

论文推导计划

数学原理（正弦激励下的响应计算）
参考书：高等数学、工程数学、自动控制原理、电路原理

上一期（二阶微分方程求解）
二阶线性微分方程求解链接: 二阶线性微分方程求解

前言

对于阶跃激励下的电感电流和电容电压的响应计算已经介绍过了，这里将总结在阅读电力电子论文中关于正弦激励下的响应。

涉及以下内容：

• 正弦激励下的暂态和稳态计算（$Laplace$变换的应用）

一、基本的数学原理

电路理论中的$Laplace$变换理论（暂态解+稳态解）

由$Laplace$的微分性质可得
$$\begin{gathered} \mathfrak{L}[f^{\prime }(t)]=sF(s)-f(0) \\ \Rightarrow \mathfrak{L}[L\frac{\mathrm{d}{i}_L(t)}{\mathrm{d}t}]=sL{i}_L(s)-L{i}_L(0)=v_L(s) \end{gathered}$$
即，电感电压可以表示为如上形式。
同理，电容电压可以表示成
$$\begin{gathered} \mathfrak{L}[f^{\prime }(t)]=sF(s)-f(0) \\ \Rightarrow \mathfrak{L}[C\frac{\mathrm{d}{u}_C(t)}{\mathrm{d}t}]=sC{u}_C(s)-C{u}_C(0)=i_C(s) \\ \Rightarrow u_C(s)=\frac{1}{sC}{i}_C(s)+\frac{1}{s}{u}_C(0) \end{gathered}$$
电阻元件则不变。
直流电源：$V$为常数
$$\mathfrak{L}[V]=\frac{V}{s}$$
正弦电源：$V=V\sin (\omega t+\phi )$
$$\mathfrak{L}[V]=\frac{V[\omega \cos \phi +s\sin \phi ]}{s^2+{\omega }^2}$$
求解步骤：

• 首先求出初始解
• 代入等效的拉氏变换后的电路元件
• 用电路原理求解
• 反变换为时域解

相量法（只可求稳态解）

二、具体应用

1.一阶RC电路的正弦激励

下图中，电容的容值为$C$, 电阻的阻值为$R$, 电压的时域表达式为$V=V\sin (\omega t+\phi )$,求电流和电容电压的表达式。

• $Laplace$变换

观察可得，开关S落下之前，电容中无电荷存贮，则无初始电压。
因此根据 $Laplace$变换后的电路元件列写电路表达式则有
$$\begin{gathered} V(s)=Rs{U}_C(s)+U_C(s) \\ \Rightarrow U_C(s)=\frac{V(s)}{RCs+1} \end{gathered}$$
其中，$$V(s)=\frac{V[\omega \cos \phi +s\sin \phi ]}{s^2+{\omega }^2}$$
因此$U_C(s)$可求解为
$$\begin{array}{rl}& U_C(s)=\frac{V[\omega \cos \phi +s\sin \phi ]}{（s^2+{\omega }^2）（RCs+1）}\\ & =\frac{\frac{V\omega \cos \phi }{RC}+\frac{V\sin \phi s}{RC}}{（s^2+{\omega }^2）（s+\frac{1}{RC}）}\\ & =A\end{array}$$
$A$可以写为
$$\begin{array}{rl}& A=\frac{K_1}{s-p_1}+\frac{K_2}{s-p_2}+\frac{K_3}{s-p_3}\\ & A=\frac{K_1(s-p_2)(s-p_3)+K_2(s-p_1)(s-p_3)+K_3(s-p_1)(s-p_2)}{(s-p_1)(s-p_2)(s-p_3)}\\ & \Rightarrow \frac{V\omega \cos \phi }{RC}+\frac{V\sin \phi s}{RC}=K_1(s-p_2)(s-p_3)+K_2(s-p_1)(s-p_3)+K_3(s-p_1)(s-p_2)\end{array}$$
其中，
$$p_1=-j\omega ,p_2=j\omega ,p_3=-\frac{1}{RC}$$
将$p_1=-j\omega$代入上式可得
$$\begin{array}{rl}& \frac{V\omega \cos \phi }{RC}+\frac{V\sin \phi }{RC}(-j\omega )=K_1(-j\omega -j\omega )(-j\omega +\frac{1}{RC})\\ & \Rightarrow K_1=\frac{V}{RC}\frac{\omega \cos \phi +\sin \phi (-j\omega )}{(-2j\omega )(-j\omega +\frac{1}{RC})}\end{array}$$
将$p_2=j\omega$代入上式可得
$$\begin{array}{rl}& \frac{V\omega \cos \phi }{RC}+\frac{V\sin \phi }{RC}(j\omega )=K_2(j\omega +j\omega )(j\omega +\frac{1}{RC})\\ & \Rightarrow K_2=\frac{V}{RC}\frac{\omega \cos \phi +\sin \phi (j\omega )}{(2j\omega )(j\omega +\frac{1}{RC})}\end{array}$$
将$p_3=-\frac{1}{RC}$代入上式可得
$$\begin{array}{rl}& \frac{V\omega \cos \phi }{RC}+\frac{V\sin \phi }{RC}(-\frac{1}{RC})=K_3(-\frac{1}{RC}+j\omega )(-\frac{1}{RC}-j\omega )\\ & \Rightarrow K_3=\frac{V}{RC}\frac{\omega \cos \phi +\sin \phi (-\frac{1}{RC})}{(\frac{1}{R^2{C}^2}+{\omega }^2)}\end{array}$$
因此，根据$Laplace$反变换可得
$$\begin{array}{r}{u}_C(t)=\frac{V}{RC}[\frac{\omega \cos \phi +\sin \phi (-j\omega )}{(-2j\omega )(-j\omega +\frac{1}{RC})}{e}^{-j\omega t}+\frac{\omega \cos \phi +\sin \phi (j\omega )}{(2j\omega )(j\omega +\frac{1}{RC})}{e}^{j\omega t}+\frac{\omega \cos \phi +\sin \phi (-\frac{1}{RC})}{(\frac{1}{R^2{C}^2}+{\omega }^2)}{e}^{\frac{-t}{RC}}]\end{array}$$
根据$Euler$公式，有
$$\omega \cos \phi +\sin \phi (-j\omega )=\omega e^{\phi }$$
因此，$u_C(t)$可化简为
$$u_C(t)=\frac{V}{RC}[\frac{e^{-j(\omega t+\phi )}}{(-2\omega )-\frac{j2}{RC}}+\frac{e^{j(\omega t+\phi )}}{(-2\omega )+\frac{j2}{RC}}+\frac{\omega \cos \phi +\sin \phi (-\frac{1}{RC})}{(\frac{1}{R^2{C}^2}+{\omega }^2)}{e}^{\frac{-t}{RC}}]$$
由于
$$\begin{array}{rl}& \frac{V}{RC}[\frac{e^{-j(\omega t+\phi )}}{(-2\omega )-\frac{j2}{RC}}+\frac{e^{j(\omega t+\phi )}}{(-2\omega )+\frac{j2}{RC}}]\\ & =\frac{V}{RC}\frac{1}{4{\omega }^2+\frac{4}{R^2{C}^2}}[((-2\omega )+\frac{j2}{RC})e^{-j(\omega t+\phi )}+(-2\omega )-\frac{j2}{RC})e^{j(\omega t+\phi )}]\\ & =\frac{V}{RC}\frac{2}{4{\omega }^2+\frac{4}{R^2{C}^2}}[-2\omega \cos (\omega t+\phi ))+\frac{2}{RC}\sin (\omega t+\phi ))]\\ & =\frac{V}{RC}\frac{1}{{\omega }^2+\frac{1}{R^2{C}^2}}[-\omega \cos (\omega t+\phi ))+\frac{1}{RC}\sin (\omega t+\phi ))]\\ & =-\frac{1}{\omega C}\frac{V}{\sqrt{R^2+(\frac{1}{\omega C}{)}^2}}[\frac{R}{\sqrt{R^2+(\frac{1}{\omega C}{)}^2}}\cos (\omega t+\phi )+\frac{-\frac{1}{\omega C}}{\sqrt{R^2+(\frac{1}{\omega C}{)}^2}}\sin (\omega t+\phi )]\\ & =-\frac{1}{\omega C}\frac{V}{\sqrt{R^2+(\frac{1}{\omega C}{)}^2}}\sin (\omega t+\phi +\varphi )\end{array}$$
其中，
$$\tan \varphi =-RC\omega$$
同理，
$$\begin{array}{rl}& \frac{V}{RC}\frac{\omega \cos \phi +\sin \phi (-\frac{1}{RC})}{(\frac{1}{R^2{C}^2}+{\omega }^2)}{e}^{\frac{-t}{RC}}\\ & =\frac{1}{\omega C}\frac{V}{\sqrt{R^2+(\frac{1}{\omega C}{)}^2}}[\frac{R}{\sqrt{R^2+(\frac{1}{\omega C}{)}^2}}\cos (\phi )+\frac{-\frac{1}{\omega C}}{\sqrt{R^2+(\frac{1}{\omega C}{)}^2}}\sin (\phi )]e^{\frac{-t}{RC}}\\ & =\frac{1}{\omega C}\frac{V}{\sqrt{R^2+(\frac{1}{\omega C}{)}^2}}\sin (\phi +\varphi )e^{\frac{-t}{RC}}\end{array}$$
总上所述，$u_C(t)$可解得为
$$\frac{1}{\omega C}\frac{V}{\sqrt{R^2+(\frac{1}{\omega C}{)}^2}}\sin (\phi +\varphi )e^{\frac{-t}{RC}}-\frac{1}{\omega C}\frac{V}{\sqrt{R^2+(\frac{1}{\omega C}{)}^2}}\sin (\omega t+\phi +\varphi )$$
传输电流为$i_L(t)=C\frac{\mathrm{d}{u}_C(t))}{\mathrm{d}t}$
即
$$i_L(t)=-\frac{1}{\omega RC}\frac{V}{\sqrt{R^2+(\frac{1}{\omega C}{)}^2}}\sin (\phi +\varphi )e^{\frac{-t}{RC}}-\frac{V}{\sqrt{R^2+(\frac{1}{\omega C}{)}^2}}\cos (\omega t+\phi +\varphi )$$
观察可知，这两个微分方程的根的存在暂态分量和稳态分量。暂态分量是一个衰减的量。

总结和未来的工作

本内容展示了如何用$Laplace$理论求解正弦激励下的微分方程，以下内容是小结部分

• 电路元件的$Laplace$转换
• $Laplace$反变换的过程
• 未来将会对RLC二阶系统的正弦激励响应做分析
  往期链接：
  二阶线性微分方程求解
  正弦激励响应公式推导
  串联谐振型DAB的LC等效电路的归一化推导
  电力电子论文中方波和类方波的傅里叶级数形式推导