傅里叶级数
傅里叶在他的专著《热的解析理论》中提出，任何一个周期函数都可以表示为若干个正弦函数的和，即：
\[f(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}(a_ncos(n\omega t)+b_nsin(n\omega t))\]其中\(\omega=\dfrac{2\pi}{T}\)，\(T\)为函数的周期。\(a_n/b_n\)和\(n\)分别控制了正弦波的振幅与频率。这就是傅里叶级数的三角形式。
我们还可以用复指数形式1和积分2来表示傅里叶级数：
\[ f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_ne^{in\omega t} \] \[ F_n=\frac{1}{T}\int_0^T f(t)e^{-in\omega t} dt \]其中\(F\)就是周期函数\(f\)的傅里叶级数(Fourier Series, FS)。
如果说\(f\)是某段信号在时域上的表现，\(F\)就是其在频域上的表现。傅里叶变换实现的就是从时域到频域的变换。
傅里叶变换
对于非周期函数，我们可以将其视为一个以\((-\infty,\infty)\)为一个周期的周期函数。
经过数学推导，得到：
\[ F(\omega)=\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-i\omega t} dt\] \[ f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(\omega)e^{i\omega t} d\omega \] 这叫做傅里叶变换(Fouier Transform, FT)及傅里叶逆变换(IFT)。
注意，其结果都可能是复数。
这时，\(F\)不再是离散的级数，而是一个连续的函数了。
与傅里叶级数的比较：
- 傅里叶级数：周期信号，离散频率，频率分量的值
- 傅里叶变换：非周期信号，连续频率，频率分量的密度
卷积定理
卷积定理有两个：
\[ FT[f_1(t)*f_2(t)]=FT[f_1(t)]\cdot FT[f_2(t)] \] \[ IFT[F_1(\omega)*F_2(\omega)]=\frac{1}{2\pi}IFT[F_1(\omega)]\cdot IFT[F_2(\omega)] \] 分别称为时域卷积定理和频域卷积定理。
下面对时域卷积定理进行证明。
\[ \begin{align*} FT[f_1(t)*f_2(t)] &= FT[\int_{-\infty}^\infty f_1(\tau)f_2(t-\tau) d\tau] \\ &= \int_{-\infty}^\infty[\int_{-\infty}^\infty f_1(\tau)f_2(t-\tau) d\tau]e^{-i\omega t} dt \\ &= \int_{-\infty}^\infty f_1(\tau)[\int_{-\infty}^\infty f_2(t-\tau)e^{-i\omega t} dt]d\tau \\ &= \int_{-\infty}^\infty f_1(\tau)[\int_{-\infty}^\infty f_2(t)e^{-i\omega (t+\tau)} dt]d\tau \\ &= \int_{-\infty}^\infty f_1(\tau)e^{-i\omega\tau}[\int_{-\infty}^\infty f_2(t)e^{-i\omega t} dt]d\tau \\ &= \int_{-\infty}^\infty f_1(\tau)e^{-i\omega\tau}F_2(\omega) d\tau \\ &= F_2(\omega) \int_{-\infty}^\infty f_1(\tau)e^{-i\omega\tau} d\tau \\ &= F_1(\omega)F_2(\omega) \end{align*} \] 其实基本上就是直接展开啦。频域卷积定理的证明也是类似的。
可以观察到，在一个域上进行卷积，相当于在另一个域上进行点积。这启发我们用复杂度低的点积运算来代替复杂度高的卷积运算。
离散时间傅里叶变换
以上的内容都是针对连续信息/连续函数的。但是，计算机是无法存储连续的信息的，只能每隔时间\(T\)对信息进行采样。也就是说，计算机把连续的函数转化为了离散的序列。对于这样一个序列进行的傅里叶变换就称为离散时间傅里叶变换(Discrete Time Fouier Transform, DTFT)。
\[ F(\omega)=\sum_{n=-\infty}^\infty f(nT)e^{-i\omega nT } \] 我们其实是用离散的采样点\(nT\)代替了FT中连续的时间\(t\)。进一步，由于采样的结果本质上是一个序列，那么我们可以把序列中连续两项的间隔，也就是采样频率\(T\)看做单位“1”。我们用\(x(n)\)表示采样结果序列，那么有：
\[ X(\omega)=\sum_{n=-\infty}^\infty x(n)e^{-i\omega n} \] 事实上，这个将\(T\)转化为“1”的过程，就是模拟信号转化为数字信号的过程。
其逆变换IDTFT的表达式为：
\[ x(n)=\int_{-\pi}^\pi X(\omega)e^{i\omega n} d\omega\]
离散傅里叶变换
通过DTFT，我们已经能够处理离散的采样信号了。但由于采样结果序列依然是无限长的，计算机还是无法进行处理。从DTFT的式子中可以看出，\(X(\omega)\)是以\(2\pi\)为周期的，那么解决的方法很简单：我们只从时域\((0,2\pi)\)上均匀地取\(N\)个点，用这\(N\)个点计算出频域上的\(N\)个点，这\(N\)个点就可以作为频域上的一个周期。
\[ X(k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)W_N^{nk} \quad (k=0,1,2...,N-1)\] 其中\(W_N=e^{-i\frac{2\pi}{N}}\)，也就是n次单位根。
其实DFT就是将DTFT中的对\(\omega\)积分替换为对\(\frac{2k\pi}{N}\)求和3。
这样，我们就得到了一个\(N\)点信号到\(N\)点频域的离散变换，这个变换就叫做离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform, DFT)。
其逆变换的表达式为：
\[ x(n)=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1}X(k)W_N^{-nk} \quad (n=0,1,2...,N-1)\]
FS, FT, DTFT, DFT的比较
| 变换 | 特点 |
|---|---|
| 傅里叶级数FS | 周期信号，离散频率，频率分量的值 |
| 傅里叶变换FT | 非周期信号，连续频率，频率分量的密度 |
| 离散时间傅里叶变换DTFT | 非周期采样信号，连续频率，频率分量的密度 |
| 离散傅里叶变换DFT | 有限长度非周期采样信号，离散频率，对于DTFT频谱频率分量的密度 |
快速傅里叶变换
朴素进行DFT的复杂度是\(O(n^2)\)，这可以从其表达式中看出。事实上我们有一种利用分治进行DFT的\(O(nlogn)\)算法，这就是常常被应用在OI中的快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform, FFT)。
为了方便，以下若不做特殊说明，\(N\)均是\(2\)的整数次幂，这可以通过在原来的序列后补若干个\(0\)至有\(2\)的整数次幂项来实现。
\[ \begin{align} X(k) &= \sum_{n=0}^{N-1}x(n)W_N^{nk} \\ &= \sum_{n=0,n+=2}^{N-2}x(n)W_N^{nk} + \sum_{n=1,n+=2}^{N-1}x(n)W_N^{nk} \\ &= \sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}x(2n)W_N^{2nk} + \sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}x(2n+1)W_N^{(2n+1)k} \\ &= \sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}x(2n)W_{\frac{N}{2}}^{nk} + W_N\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}x(2n+1)W_{\frac{N}{2}}^{nk} \end{align} \] 通过以上变形，原问题变成了两个规模减半的子问题。合并两个子问题的复杂度是\(O(1)\)，分治层数为\(O(logn)\)，所以计算一项的复杂度是\(O(logn)\)，计算\(n\)项的复杂度是\(O(nlogn)\)。
例题：多项式乘法
设\(n\)次多项式\(f_1(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i\)和\(m\)次多项式\(f_2(x)=\sum_{i=0}^{m}b_ix^i\)的积为\(n+m\)次多项式\(f_3(x)=\sum_{i=0}^{n+m}c_ix^i\)。给出序列\(a,b\)，求序列\(c\)。
容易知道\(c_k=\sum_{i=0}^{k}a_ib_{k-i}\)，事实上序列\(c\)就是序列\(a\)和序列\(b\)的离散卷积。
那么根据卷积定理，\(c_k=IDFT[DFT[c_k]]=IDFT[DFT[a_k*b_k]]=IDFT[DFT[a_k]\cdot DFT[b_k]]\)
所以我们只要将序列\(a\)和\(b\)DTFT到频域，点积后再IDTFT回时域，就可以得到序列\(c\)啦。
时间复杂度\(O((n+m)log(n+m))\)。
快速数论变换
在我们进行DTFT的过程中，使用的是复数。如果精度要求很高（比如求方案数），用复数来进行FFT就会出现误差。所以我们需要找到一个与复数单位根有相似性质的替代。
注意到FFT能够进行的根本因素就是复数单位根具有\(W_N^2=W_{\frac{N}{2}}\)这一性质。事实上，模意义域下的原根4就是复数单位根的一个很好的替代。
定义\(W_N=g^{\frac{P-1}{N}}(mod \ P)\)，则有：
\[ X(k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)W_N^{nk} \quad (mod \ P)\] 这就是快速数论变换(Number Theory Transform, NTT)。
进行NTT时，最常用的模数就是998244353，其原根\(g=3\)。
Code
UOJ34 - 多项式乘法
\(e^{i\theta}=cos\theta+isin\theta\)↩
\(\int_a^b f(x)dx\)表示对\(x\in(a,b)\)的\(f(x)\)进行积分。↩
把这个式子转化成类似DTFT的形式：
\[ X(k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)W_N^{nk}=\sum_{n=0}^{N-1} x(n)e^{-i \frac{2k\pi}{N}n} \] \(\frac{2k\pi}{N}\)代替的就是DTFT中\(\omega\)的位置。↩\(P\)的原根\(g\)定义为使得\(g^0,g^1,...,g^{P-2} \ (mod \ P)\)互不相同的数。↩
