【洛谷 P8602】[蓝桥杯 2013 省 A] 大臣的旅费 题解(图论+深度优先搜索+树的直径+链式前向星)

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[蓝桥杯 2013 省 A] 大臣的旅费

题目描述

很久以前,T 王国空前繁荣。为了更好地管理国家,王国修建了大量的快速路,用于连接首都和王国内的各大城市。

为节省经费,T 国的大臣们经过思考,制定了一套优秀的修建方案,使得任何一个大城市都能从首都直接或者通过其他大城市间接到达。同时,如果不重复经过大城市,从首都到达每个大城市的方案都是唯一的。

J 是 T 国重要大臣,他巡查于各大城市之间,体察民情。所以,从一个城市马不停蹄地到另一个城市成了 J 最常做的事情。他有一个钱袋,用于存放往来城市间的路费。

聪明的 J 发现,如果不在某个城市停下来修整,在连续行进过程中,他所花的路费与他已走过的距离有关,在走第 x x x 千米到第 x + 1 x+1 x+1 千米这一千米中( x x x 是整数),他花费的路费是 x + 10 x+10 x+10 这么多。也就是说走 1 1 1 千米花费 11 11 11,走 2 2 2 千米要花费 23 23 23

J 大臣想知道:他从某一个城市出发,中间不休息,到达另一个城市,所有可能花费的路费中最多是多少呢?

输入格式

输入的第一行包含一个整数 n ( n ≤ 1 0 5 ) n(n \le 10^5) n(n105),表示包括首都在内的 T T T 王国的城市数。

城市从 1 1 1 开始依次编号, 1 1 1 号城市为首都。

接下来 n − 1 n-1 n1 行,描述 T T T 国的高速路( T T T 国的高速路一定是 n − 1 n-1 n1 条)。

每行三个整数 P i , Q , D i P_i,Q,D_i Pi,Q,Di,表示城市 P i P_i Pi 和城市 Q i Q_i Qi 之间有一条高速路,长度为 D i ( D i ≤ 1000 ) D_i(D_i \le 1000) Di(Di1000) 米。

输出格式

输出一个整数,表示大臣J最多花费的路费是多少。

样例 #1

样例输入 #1

5
1 2 2
1 3 1
2 4 5
2 5 4

样例输出 #1

135

提示

样例解释:大臣 J 从城市 4 4 4 到城市 5 5 5 要花费 135 135 135 的路费。

时限 5 秒, 64M。蓝桥杯 2013 年第四届省赛


思路

这个图是一棵树。树是一种特殊的图,它是无环的连通图。“连通"意味着图中的任意两个节点都存在一条路径相连,这对应了题目中的"任何一个大城市都能从首都直接或者通过其他大城市间接到达”。“无环"则意味着图中不存在闭合的路径,这对应了题目中的"如果不重复经过大城市,从首都到达每个大城市的方案都是唯一的”。

树的直径定义为树中所有最短路径的最大值,也就是树中最远的两个节点之间的距离。在无向树中,最远的两个节点一定是叶子节点,也就是只有一个邻居的节点。

首先从树中任意一个节点开始,进行一次深度优先搜索,找到最远的节点。然后,从这个节点开始再进行一次深度优先搜索,找到最远的节点。这两个节点之间的距离就是树的直径。

首先,定义一些常量和类型,包括节点的最大数量(N),无穷大(INF),模数(MOD),以及一些类型别名如长整型(ll)和长整型对(pll)。

然后,定义一个全局变量n用来存储城市的数量。定义一个结构体Snode,用来表示边,包括目标节点(to),边的长度(d)和下一条边的索引(next)。定义一个数组edge用来存储所有的边,一个数组head用来存储每个节点的第一条边的索引,一个变量cnt用来计数边的数量。

接着,定义一个函数add,用来向邻接链表中添加边。函数接受两个节点和一条边的长度作为参数,然后将这条边添加到邻接链表中。

然后,定义一个函数dfs,用来进行深度优先搜索。函数接受一个节点和它的父节点作为参数,然后返回一个长整型对,其中第一个元素是该节点到达的最远节点,第二个元素是最远的距离。在函数中,遍历该节点的所有边,如果边的目标节点不是父节点,则对目标节点进行深度优先搜索,并更新最远的节点和距离。

在主函数中,首先初始化头结点,然后从输入中读取城市的数量和所有的边。接着,从首都开始进行一次深度优先搜索,找到最远的节点,然后从这个节点开始再进行一次深度优先搜索,找到最远的距离。最后,根据题目的要求,计算并输出最多的路费。


AC代码

#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <iostream>
#define mp make_pair
#define AUTHOR "HEX9CF"
using namespace std;
using ll = long long;
using pll = pair<ll, ll>;const int N = 1e6 + 7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const ll MOD = 1e9 + 7;int n;struct Snode {int to;int d;int next;
} edge[N];
int head[N];
int cnt = 0;void add(int u, int v, int d) {edge[cnt] = {v, d, head[u]};head[u] = cnt++;
}pll dfs(int x, int fa) {// cout << x << endl;pll ret = {x, 0};for (int i = head[x]; ~i; i = edge[i].next) {int to = edge[i].to;if (to == fa) {continue;}pll t = dfs(to, x);ll d = t.second + edge[i].d;if (ret.second < d) {ret = {t.first, d};}}return ret;
}int main() {ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);memset(head, -1, sizeof(head));cin >> n;for (int i = 1; i < n; i++) {int p, q, d;cin >> p >> q >> d;add(p, q, d);add(q, p, d);}int f = dfs(1, 0).first;ll dmax = dfs(f, 0).second;cout << (((1 + dmax) * dmax / 2) + dmax * 10);return 0;
}

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