MIT线性代数-方程组的几何解释

本文主要是介绍MIT线性代数-方程组的几何解释，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

假设有一个方程组 $AX=B$表示如下
$$2x-y=0\text{\hspace{1em}(1)}$$
$$-x+2y=3\text{\hspace{1em}(2)}$$

• 矩阵表示如下：
  $$\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ & \\ -1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ \\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ \\ 3\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(3)}$$

1. 二维空间

1.1 行方向

• 从行的方向上可以得到如下图形：
  
• 得到的交点M(1,2) 就是矩阵求得的x=1,y=2答案。

1.2 列方向

将方程变换成列方向，可得如下结构：
$$x\left[\begin{array}{c}2\\ \\ -1\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{c}-1\\ \\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ \\ 3\end{array}\right]$$

• 可以看成两个向量a=$\left[\begin{array}{c}2\\ \\ -1\end{array}\right]$,b=$\left[\begin{array}{c}-1\\ \\ 2\end{array}\right]$的线性组合。
  
• 从列方向可以看出来，方程组可以看出来是以a=$\left[\begin{array}{c}2\\ \\ -1\end{array}\right]$,b=$\left[\begin{array}{c}-1\\ \\ 2\end{array}\right]$为基，以 x, y 为系数，进行向量计算求得向量$\left[\begin{array}{c}0\\ \\ 3\end{array}\right]$

2. 三维空间

2.1 行方向

$$2x-y=0;-x+2y-z=-1;-3y+4z=4$$
三维图像如下：

• 我们发现，对于方程组来说，我们从行方向画图的时候发现，特别难找到三个平面的交点，为此我们希望用更简单的方式看方程组(列方向)

2.2 列方向

• 方程组：$$2x-y=0;-x+2y-z=-1;-3y+4z=4$$
• 转换成矩阵：
  $$x\left[\begin{array}{c}2\\ \\ -1\\ \\ 0\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{c}-1\\ \\ 2\\ \\ -3\end{array}\right]+z\left[\begin{array}{c}0\\ \\ -1\\ \\ 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ \\ -1\\ \\ 4\end{array}\right]$$
• 从列方向的角度来看，我们是以$a=\left[\begin{array}{c}2\\ \\ -1\\ \\ 0\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{c}-1\\ \\ 2\\ \\ -3\end{array}\right],c=\left[\begin{array}{c}0\\ \\ -1\\ \\ 4\end{array}\right]$为基，以x,y,z为系数画图，求得向量$z=\left[\begin{array}{c}0\\ \\ -1\\ \\ 4\end{array}\right]$
• 那么我们就可以以更简单的方式进行求解系数x,y,z
  
• 通过矩阵方程和图形可以看出，当x=0,y=0,z=1时可以得到结果
  $$0\left[\begin{array}{c}2\\ \\ -1\\ \\ 0\end{array}\right]+0\left[\begin{array}{c}-1\\ \\ 2\\ \\ -3\end{array}\right]+1\left[\begin{array}{c}0\\ \\ -1\\ \\ 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ \\ -1\\ \\ 4\end{array}\right]$$
• 只有当向量a,b,c 相互独立，那么就可以通过系数x,y,z来求得向量z;
• AX=b 表示的是将A的列向量进行组合得到向量b.

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