高等数学的函数连续,可导,可微和偏导数连续的关系(多元)

2024-03-16 10:58

本文主要是介绍高等数学的函数连续,可导,可微和偏导数连续的关系(多元),希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

结论(一元函数范畴内)

可导与连续的关系:可导必连续,连续不一定可导;
可微与连续的关系:可微与可导是一样的;
可积与连续的关系:可积不一定连续,连续必定可积;
可导与可积的关系:可导一般可积,可积推不出一定可导;

 

这个就不多说了。。。

 

下面是多元函数的关系

 

先上图

很显然函数连续,可导,可微和偏导数连续的关系可以从图中看出

函数连续不一定的函数可微(例子:y=|x|)

函数连续不一定函数可导  (例子:y=|x|当x=0时 y不可导)

函数可导不一定连续

可导指的是偏导数存在,即沿x轴,y轴方向的导数存在(注意只有两个方向),但是二元函数的连续性是从各个方向,以任何形式来取极限的,所以从这个方面来讲,多元函数可导不一定能保证其连续,如果是可微就可以推出连续,因为可微就考察了所有方向.

 

函数可导不一定可微 这个记住就好

详细可以看:https://blog.csdn.net/weixin_40054912/article/details/79501962

函数可微不一定偏导数连续

(例: 首先,
    Df(0,0)/Dx = lim(x→0) [f(x,0) - f(0,0)]/x = lim(x→0) xsin(1/x^2) = 0,
    Df(0,0)/Dy = lim(y→0) [f(x,0) - f(0,0)]/y = lim(y→0) ysin(1/y^2) = 0,
其次,记 ρ = √(x^2 + y^2),则
    {f(x,y) - f(0,0) - [Df(0,0)/Dx]Δx - [Df(0,0)/Dy]Δy}/ρ
      = ρsin(1/ρ^2) →0 (ρ → 0),
根据全微分的定义,得知函数 f 在 (0,0) 可微.但 Df(x,y)/Dx 和 Df(x,y)/Dy 在 (0,0) 不连续(留给你).

 

 

 

 

 

 

 

 

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http://www.chinasem.cn/article/815262

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