矩阵分析(一)：Hermitian矩阵、二次型与正定矩阵

本文主要是介绍矩阵分析(一)：Hermitian矩阵、二次型与正定矩阵，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

1. Hermitian矩阵

Hermitian矩阵为满足${\mathbf{A}}^{\mathrm{H}}=\mathbf{A}$的正方复矩阵，或称为复共轭对称矩阵。

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2. 矩阵的二次型

任意一个正方矩阵$\mathbf{A}$的二次型定义为${\mathbf{x}}^{\mathrm{H}}\mathbf{A}\mathbf{x}$，其中$\mathbf{x}$可以是任意的非零复向量。

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3.正定矩阵

一个Hermitian矩阵$\mathbf{A}$被称为：
（1）正定矩阵，记作$\mathbf{A}\succ 0$，若二次型${\mathbf{x}}^{\mathrm{H}}\mathbf{A}\mathbf{x}>0$，$\forall \mathbf{x}̸=0$；
（2）半正定矩阵，记作$\mathbf{A}⪰0$，若二次型${\mathbf{x}}^{\mathrm{H}}\mathbf{A}\mathbf{x}\ge 0$，$\forall \mathbf{x}̸=0$（也称非负定）；
（3）负定矩阵，记作$\mathbf{A}\prec 0$，若二次型${\mathbf{x}}^{\mathrm{H}}\mathbf{A}\mathbf{x}<0$，$\forall \mathbf{x}̸=0$；
（4）半负定矩阵，记作$\mathbf{A}⪯0$，若二次型${\mathbf{x}}^{\mathrm{H}}\mathbf{A}\mathbf{x}\le 0$，$\forall \mathbf{x}̸=0$（也称非正定）；
（5）不定矩阵，若二次型${\mathbf{x}}^{\mathrm{H}}\mathbf{A}\mathbf{x}\le 0$既可能取正值，也可能取负值。

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