自动控制原理 （四）： 时域下的性能分析

上一章中已经简单介绍过调节时间、 超调量等一些性能的定性分析和定量计算。 本章主要介绍在时域下的系统稳定性分析和稳态误差分析。

系统稳定性分析

对于一个控制系统， 如果其受到扰动， 偏离了原来的平衡状态， 而当扰动消失后， 系统又能够逐渐恢复到原来的平衡状态， 则称系统是稳定的， 如果扰动消失后系统无法恢复至原来的平衡状态， 甚至偏差越来越大， 则称系统是不稳定的， 或不具有稳定性。

稳定性是系统的一种固有属性， 对于现在讨论的线性定常系统来说， 稳定性只与系统的内部结构参数有关， 而与 初始条件 和 外作用 无关。

稳定还可以定义为： 在有界的输入下， 系统输出响应也是有界的。 这种定义被称作 BIBO 稳定。

稳定的数学条件

设一个 LTI （线性定常） 系统的闭环传递函数为 G(s)=N(s)/D(s) ； 脉冲响应函数为 g(t) ， 则该闭环系统稳定的充分必要条件是：
$${\int }_0^{+\infty }\left|g(t)\right|\text{d}t<K$$
系统 BIBO 稳定的充要条件为： G(s) 的极点均具有负实部， 或者说都位于复平面虚轴以左

也可以说系统稳定的充要条件是系统的特征方程 D(s) 所有根都具有负实部。

系统的特征方程是指令闭环传递函数分母等于 0 的方程。 如果系统的开环传递函数为 G(s)， 反馈通路传递函数为 H(s)， 则闭环传递函数即为： $G_c(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}$​¹​， 因为一般是负反馈， 所以分母里是+号， 所以如果给出的是开环传递函数， 应当经过上式的计算， 令 1+G(s)H(s)=0 得系统的特征方程。

对于所有情况， 总结如下：

• 所有根实部小于0： 稳定
• 单根实部等于0： 临界情况， 系统既不发散， 也不能恢复， 不属于稳定
• 重根实部等于0： 系统会发散， 不稳定
• 有根实部大于0： 系统会发散， 不稳定

稳定性判据

经过上面的分析， 我们知道通过求解系统的特征根可以用来判断系统的稳定性。 但如果系统阶数高， 则特征方程很难求解， 此时可以用下面介绍的判据：

赫尔维茨 （Hurwitz） 判据

系统稳定的充分必要条件是： 特征方程的赫尔维茨行列式全部为正。

各阶赫尔维茨行列式分别为：
$$\begin{array}{c}{D}_1=a_1,D_2=\left|\begin{array}{cc}{a}_1& a_3\\ a_0& a_2\end{array}\right|,D_3=\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& a_3& a_5\\ a_0& a_2& a_4\\ 0& a_1& a_3\end{array}\right|,\dots ,\\ D_n=\left|\begin{array}{ccccc}{a}_1& a_3& a_5& \dots & a_{2n-1}\\ a_0& a_2& a_4& \dots & a_{2n-2}\\ 0& a_1& a_3& \dots & a_{2n-3}\\ 0& a_0& a_2& \dots & a_{2n-4}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \dots & a_n\end{array}\right|\end{array}$$

💡 例： 系统特征方程为：
$$a_0{s}^3+a_1{s}^2+a_{2}s+a_3=0(a_0>0)$$
则系统稳定的充分必要条件为：
$$\begin{array}{rl}{D}_1& =a_1>0\\ D_2& =\left|\begin{array}{cc}{a}_1& a_3\\ a_0& a_2\end{array}\right|=a_1{a}_2-a_0{a}_3>0\\ D_3& =\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& a_3& a_5\\ a_0& a_2& a_4\\ 0& a_1& a_3\end{array}\right|=a_1{a}_2{a}_3-a_0{a}_3^2>0\end{array}$$

林纳德-奇帕特 (Lienard-Chipard) 判据

该判据其实是赫尔维茨判据的推广， 减少了计算量

系统稳定的充分必要条件为：

1. 系统特征方程的各项系数均大于0， 即 $a_i>0,(i=0,1,2,\dots ,n)$
2. 奇数阶或偶数阶的赫尔维茨行列式大于0， 即 $D_{\text{奇}}>0$​ 或 $D_{\text{偶}}>0$​

劳斯 (Routh) 判据

以上两个判据计算较为复杂， 三阶及以下可以使用 （直接套上面例子里的式子就好）， 阶数较高的一般直接用劳斯判据。

使用劳斯判据时先列出劳斯表：

Routh 判据：

• 闭环系统稳定当且仅当：
  1. 特征方程 D(s) 的所有系数为正;
  2. Routh 表的第一列所有元素为正。
• D(s) 正实部根的个数等于 Routh 表第一列元素符号改变的次数。

从劳斯表的构造过程可以看出， 劳斯表的每一行都取决于其前两行。 但有些特殊情况会让劳斯表无法计算下去， 比如第一列的元素为0， 或某一行的元素全为0。 这两种特殊情况的处理方法如下：

• 当某一行的第一列元素为0时：

  • 可以用一个极小的正数 $\epsilon$ 来代替0， 继续运算。
  • 也可以给原特征方程乘以 (s+1) 后， 再构造新特征方程的劳斯表。 用该劳斯表判稳， 结果与原特征方程一样。

• 当某行的元素全为0时：

  用上一行构造辅助函数 $F(s)=c_{1,n-k}{s}^k+c_{2,n-k}{s}^{k-2}+\dots$; 对辅助函数求导， 将求导后各项的系数作为零行的元素。

  💡 辅助函数的次数通常为偶数， 求解 $F(s)=0$​​ 可以得到数值相等， 符号相反的根， 这些根同样也是系统特征方程的根

相对稳定性分析

离虚轴越近的根对系统的影响越大， 因此通常使用实部最大的特征根²距虚轴的距离来表示系统的相对稳定性， 或叫稳定裕度。

设稳定裕度为 $\sigma$， 为了能用上述判据来分析系统的稳定裕度， 可以用新变量 $s^{\prime }=s+\sigma$ 代入原特征方程， 即令 $s=s^{\prime }-\sigma$。 求解D(s’) 或使用上面的稳定性判据分析即可。 这个操作相当于把虚轴往左平移了 $\sigma$ ， 然后看系统特征点是否还能在它的左边。

稳态误差分析与计算

误差与稳态误差

误差一般定义为期望值与实际值之差， 对于常见的负反馈闭环系统来说， 误差有两种定义：

1. 实际值为 c(t), 期望值为 r(t) : 误差 e(t)=r(t)-c(t)
2. 实际值为 b(t), 期望值为 r(t) : 误差 e(t)=r(t)-b(t)

稳态误差是指稳定系统的误差的终值， 当时间 t 趋于无穷时， e(t) 极限存在， 则稳态误差为
$$e_{ss}=\underset{t\to \infty }{\lim }e(t)$$
稳态误差可以使用终值定理来计算， 当且仅当 sE(s) 的极点均具有负实部时³， 稳态误差的值为：
$$e_{ss}=\underset{s\to \infty }{\lim }e(t)=\underset{s\to 0}{\lim }sE(s)$$

输入信号作用下的稳态误差与系统结构参数的关系

当只有输入 r(t) 作用时， 系统如下图所示：

此时误差定义为 $E(s)=R(s)-B(s)$

根据等效变换的计算¹， 可得：
$$E(s)=\frac{1}{1+G(s)H(s)}R(s)$$
而 G(s)H(s) 可写作：
$$G(s)H(s)=\frac{K\prod ({\tau }_{j}s+1)\prod ({\tau }_l^2{s}^2+2{\zeta }_k{\tau }_{l}s+1)}{s^V\prod (T_{i}s+1)\prod (T_k^2{s}^2+{\zeta }_k{T}_{k}s+1)}=\frac{K\cdot N_o(s)}{s^V\cdot D_o(s)}$$
式中， K 为系统的开环增益， V 为开环传递函数中积分环节的个数。 V=0 称系统为 0 型系统， V=1 称系统为 I 型系统， V=2 称系统为 II 型系统。

则系统的稳态误差：
$$\begin{array}{rl}{e}_{ss}& =\underset{s\to 0}{\lim }sE(s)=\underset{s\to 0}{\lim }\frac{s^{V+1}{D}_o(s)}{s^V{D}_o(s)+K{N}_o(s)}R(s)\\ & =\underset{s\to 0}{\lim }\frac{s^{V+1}}{s^V+K}R(s)\end{array}$$
由此可得， 系统的稳态误差主要由三方面确定：

• 输入信号 R(s)；
• 系统的开环增益 K;
• 系统的型别 V

下面对不同的情况进行讨论：

阶跃信号 $R(s)=\frac{r_0}{s}$

定义静态位置误差系数 $K_p={\lim }_{s\to 0}G(s)H(s)$

则易得：
$$K_p=\{\begin{array}{ll}K& V=0\\ \infty & V\ge 1\end{array}\Rightarrow e_{ss}=\frac{r_0}{1+K_p}=\{\begin{array}{ll}\frac{r_0}{1+K}& V=0\\ 0& V\ge 1\end{array}$$
对于 0 型系统， 开环增益越大， 稳态误差越小； 对于 $V\ge 1$ 型系统， 稳态误差为0。

斜坡信号 $R(s)=\frac{v_0}{s^2}$​

定义静态速度误差系数 $K_v={\lim }_{s\to 0}sG(s)H(s)$

则易得：
$$K_v=\{\begin{array}{ll}0& V=0\\ K& V=1\\ \infty & V\ge 2\end{array}\Rightarrow e_{ss}=\frac{v_0}{K_v}=\{\begin{array}{ll}\infty & V=0\\ \frac{v_0}{K}& V=1\\ 0& V\ge 2\end{array}$$
0 型系统不稳定； 对于 I 型系统， 开环增益越大， 稳态误差越小； 对于 $V\ge 2$ 型系统， 稳态误差为0。

加速度信号 $R(s)=\frac{a_0}{s^3}$​​

定义静态加速度误差系数 $K_a={\lim }_{s\to 0}{s}^{2}G(s)H(s)$​​​

则易得：
$$K_a=\{\begin{array}{ll}0& V\le 1\\ K& V=2\\ \infty & V\ge 3\end{array}\Rightarrow e_{ss}=\frac{a_0}{K_a}=\{\begin{array}{ll}\infty & V\le 1\\ \frac{a_0}{K}& V=2\\ 0& V\ge 3\end{array}$$
$V\le 1$​ 型系统不稳定； 对于 II 型系统， 开环增益越大， 稳态误差越小； 对于 $V\ge 3$​​ 型系统， 稳态误差为0。

‼️ 注意上述的推导都是在只有输入信号 r(t) 作为外作用的情况下进行的， 也就是说， 系统型别与稳态误差之间的关系不适用于有干扰 n(t) 作用的情况。

计算稳态误差

计算稳态误差的步骤可归纳为：

1. 根据误差定义计算 E(s)；
2. 判断 sE(s) 的极点是否均具有负实部 （可用系统稳定性判据来判断）；
3. 若 sE(s) 的极点均具有负实部， 应用终值定理计算稳态误差。