本文主要是介绍背包九讲——01背包（降维+常数级优化），希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
题目：
共n个物体，第i个重量为w[i]，价值v[i]，背包最多能背不超过W的物体，求最大的价值
分析：
每个物体只有一个，在容量允许时（W>w[i]），则对于每个物体只有取、不取两种选择
状态：dp[i][j]：前i个物体，在容量为j的时候，最大的价值
状态转移：
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i]);二维核心：
for(i = 1; i<=n; i++)
{for(j = 0; j<=W; j++){if(j<w[i])dp[i][j] = dp[i-1][j];elsedp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i]);}
}#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <string>
#include <math.h>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <vector>using namespace std;int w[100], v[100];
int dp[100][100];int main()
{freopen("a.txt", "r", stdin);int n, W, i, j;while(~scanf("%d%d", &W, &n)){memset(dp, 0, sizeof(dp));for(i = 1; i<=n; i++){scanf("%d%d", &w[i], &v[i]);}for(i = 1; i<=n; i++){for(j = 0; j<=W; j++){if(j<w[i])dp[i][j] = dp[i-1][j];elsedp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i]);}}printf("%d\n", dp[n][W]);}return 0;
}降维：
减行，第i个物体的更新，只依赖于第i-1个的物体的结果
所以可以用滚动数组，每次只存i和i-1时候的值 （可得：dp[n][W] → dp[2][W] ）
删行，第i个物体在容积为j状态的更新，只依赖i-1物体容量里j-w[i]的状态的结果
所以，从后面开始向前更新，则求j位置时候，j-w[i]的值依旧为i-1时候的值（可得：dp[n][W] → dp[W] ）
一维核心：
for(i = 1; i<=n; i++)
{for(j = W; j>=w[i]; j--) //从后向前，此时dp[j-w[i]]相当于dp[i-1][j-w[i]]{dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]] + v[i]);}
}#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <string>
#include <math.h>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <vector>using namespace std;int w[100], v[100];
int dp[100];int main()
{freopen("a.txt", "r", stdin);int n, W, i, j;while(~scanf("%d%d", &W, &n)){memset(dp, 0, sizeof(dp));for(i = 1; i<=n; i++){scanf("%d%d", &w[i], &v[i]);}for(i = 1; i<=n; i++){for(j = W; j>=w[i]; j--){if(j>=v[i]) dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]] + v[i]);}}printf("%d\n", dp[W]);}return 0;
}初始化：
1、memset(dp, 0, sizeof(dp))
求不超过容积的W的最大价值
容积有剩余的状态依旧有值，为前一个恰好装满最优解的值
2、memset(dp, -0x3f, sizeof(dp)); //负无穷、不可达点（当前值约为：-1e+10）
求恰好装满容积的最大价值（可能无解）
当且仅当恰好装满的状态有值，其他存在空白容积的状态无法到达
常数级优化：
一维中的内循环下限，由j>=w[i] → j>=max{w[i], W-(∑(i,n)w[i])}
1、下限为j>=w[i]时候
在所有剩余容积大于等于w[i]时候，选择取、不取第i物品
2、下限为j>=max{w[i], W-(∑(i,n)w[i])}时候
只更新在i+1时候需要用到的状态，并不把所以可能状态求出
常数级优化代码：
#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <string>
#include <math.h>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <vector>using namespace std;int w[100], v[100];
int dp[100];int main()
{freopen("a.txt", "r", stdin);int n, W, i, j;while(~scanf("%d%d", &W, &n)){memset(dp, 0, sizeof(dp));for(i = 1; i<=n; i++){scanf("%d%d", &w[i], &v[i]);}int lower, sum = 0;for(i = 1; i<=n; i++){if(i!=1) sum += w[i-1];lower = max(sum, w[i]);for(j = W; j>=lower; j--){dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]] + v[i]);}}printf("%d\n", dp[W]);}return 0;
}这篇关于背包九讲——01背包（降维+常数级优化）的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！
