信号系统之z变换

本文主要是介绍信号系统之z变换，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

正如模拟滤波器是使用拉普拉斯变换设计的一样，递归数字滤波器也是使用称为z变换的并行技术开发的。这两个变换的总体策略是相同的：用正弦曲线和指数探测脉冲响应，以找到系统的极点和零点。拉普拉斯变换处理微分方程、s 域和 s 平面。相应地，z 变换处理差分方程、z 域和 z 平面。

但是，这两种技术并不是彼此的镜像；s 平面排列在直角坐标系中，而** z 平面使用极坐标格式**。递归数字滤波器通常从经典模拟滤波器之一开始设计，例如巴特沃斯、切比雪夫或椭圆。然后使用一系列数学转换来获得所需的数字滤波器。z 变换为这种数学提供了框架。

1 z 域的本质

为了强调拉普拉斯变换和 z 变换是并行技术，将从拉普拉斯变换开始，并展示如何将其更改为 z-transform。拉普拉斯变换由时域和 s 域信号之间的关系定义：

其中 x(t) 和 X(s) 是时域和 s 域表示。该方程根据振幅呈指数变化的正弦波和余弦波来分析时域信号。这可以通过复变量 s 替换成其等价表达式，$\sigma +j\omega$，则公式变成：

如果只关注实数时域信号（通常的情况），那么 s 平面的上半部分和下半部分是彼此的镜像，并且项简化为简单的余弦波和正弦波。这个等式标识了每个在 s 平面中的位置，即两个参数 $\sigma$ 和 $\omega$。每个位置的值都是一个复数，由一个实部和一个虚部组成。为了找到实部，将时域信号乘以频率为 $\omega$ 的余弦波，振幅根据衰减参数 $\sigma$ 呈指数变化。然后，$X（\sigma ,\omega )$的实部的值等于所得波形的积分。虚部的值以类似的方式找到，只是使用正弦波。

拉普拉斯变换可以通过三个步骤转换为 z 变换:

1）第一步是最明显的：从连续信号变为离散信号。这是通过将时间变量 t 替换为样本号 n 并将积分更改为求和来完成的：

注意，使用括号，表示它是连续的，而不是离散的。尽管现在处理的是离散时域信号 x[n] 。参数$\sigma ,\omega$仍然可以采用连续的值范围。

2）第二步是重写指数项。指数信号可以通过以下两种方式之一在数学上表示：

如图 33-1 所示，这两个方程都生成了一条指数曲线。第一个表达式通过参数 $\sigma$ 控制信号的衰减。如果为正，则随着样本数 n 变形值将减小。同样，如果为负数，曲线将逐渐增加。如果正好为零，则信号的常数值为 1。

第二个表达式使用参数 r 来控制波形的衰减。如果 r>1 ，则波形将减小，如果 r<1，波形将增加。当 r=1 时，信号将有一个常数值。这两个方程只是表达同一事物的不同方式。可以使用以下关系将一种方法交换为另一种方法：

将拉普拉斯变换转换为 z 变换的第二步是使用其他指数形式完成的：

虽然这是 z 变换的完全正确的表达式，但对于复杂符号来说，它不是最紧凑的形式。这个问题在拉普拉斯变换中通过引入一个新的复变量 s被克服了，其定义为：$s=\sigma +j\omega$。以同样的方式，将为 z-transform 定义一个新变量：

这是将复变量 z 定义为两个实变量 r 和 $\omega$ 的极坐标符号组合。

3）推导 z 变换的第三步是将 r 和 $\omega$ 替换为 z。这将产生 z-transform 的标准形式：

为什么 z 变换使用 $r^n$ 而不是 $e^{-\sigma n}$，以及 z 而不是 s？递归滤波器由一组递归系数实现。为了在 z 域中分析这些系统，必须能够将这些递归系数转换为 z 域传递函数，然后再转换回来。

图 33-2 说明了拉普拉斯变换的 s 平面和 z 变换的 z 平面之间的差异。s 平面中的位置由两个参数标识：$\sigma$（沿水平轴的指数衰减变量）和 $\omega$（沿纵轴的频率变量）。换句话说，这两个实数参数排列在一个直角坐标系中。这种几何结构是通过以下关系定义 s 而产生的，s 是表示平面中位置的复变量，其关系如下：$s=\sigma +j\omega$ 。

相比之下，z 域使用变量：r 和 $\omega$，按极坐标排列。与原点的距离 r 是指数衰减的值。从正水平轴测量的角距离 $\omega$ 就是频率。此几何形状的结果是将 z 定义为：$z=r{e}^{-j\omega }$ 。在其他方面，表示 z 平面中位置的复变量是通过将两个实参数以极性形式组合而成的。

这些差异导致 s 平面中的垂直线与 z 平面中的圆相匹配。例如，图 33-2 中的 s 平面显示了极点-零点模式，其中所有极点和零点都位于垂直线上。z平面中的等效极点和零点位于与原点同心的圆上。这可以通过检查前面介绍的关系来理解：$\sigma =-\ln (r)$。

实例中，s 平面的垂直轴（即$\sigma =0$）对应于 z 平面的单位圆（即 r=1 ）。s 平面左半部分的垂直线对应于 z 平面的单位圆内的圆。同样，s 平面右半部分的垂直线与 z 平面单位圆外侧的圆相匹配。换句话说，s平面的左右两侧分别对应于单位圆的内部和外部。例如，当极点占据 s 平面的右半部分时，连续系统是不稳定的。同样，当极点在 z 平面的单位圆之外时，离散系统是不稳定的。当时域信号完全真实时（最常见的情况），z 平面的上半部分和下半部分是彼此的镜像，就像时域一样。

请特别注意频率变量 $\omega$ 在两个变换中的使用方式。连续正弦波可以具有介于 DC 和无穷大之间的任何频率。这意味着 s 平面必须允许从负无穷大到正无穷大。相比之下，离散正弦波的频率只能介于 DC 和采样率的一半之间。也就是说，当表示为采样率的分数时，频率必须介于 0 和 0.5 之间，当表示为固有频率时，频率必须介于 0 和 $\pi$ 之间（即 $\omega =2\pi f$ ）。这与 z 平面的几何形状相匹配是以弧度表示的角度。也就是说，正频率对应于 0 到 $\pi$ 弧度的角度，而负频率对应于 0 到 $-\pi$ 弧度。由于 z 平面以与 s 平面不同的方式表示频率，因此一些作者使用不同的符号来区分两者。一种常见的表示法是使用 $\Omega$ 表示 z 域中的频率，并使用$\omega$ 表示 s 域中的频率。

在 s 平面上，沿垂直轴的值等于系统的频率响应。也就是说，拉普拉斯变换在 $\sigma =0$ 处的值等于傅里叶变换。类似地，在 z 域中，频率响应是在单位圆上找到的。这可以通过在z变换（方程33-1）中 r=1 处看到，这导致方程简化为离散时间傅里叶变换（DTFT）。这将零频率（DC）放在s平面水平轴上值为 1 的位置。谱的正频率从该DC位置以逆时针模式排列，占据上半圆。同样，负频率从DC位置沿顺时针路径排列，形成下半圆。谱中的正频率和负频率在$\omega =\pi$和$\omega =-\pi$ 处相遇。这种圆形几何形状也对应于离散信号的频率谱是周期性的。也就是说，当频率角增加到 $\pi$ 以上时，会遇到与 0 到 $\pi$ 之间相同的值。

2 递归系统分析

递归滤波器由微分方程定义：

式中x[]、y[]是输入和输出信号。a 和 b 是递归系数。它代表了输入和输出之间的数学关系，必须不断满足。正如连续系统由微分方程控制一样，递归离散系统也按照这个微分方程运行。从这种关系中，可以推导出系统的关键特征：脉冲响应、阶跃响应、频率响应、零极点图等。

通过取方程 33-2 两侧的 z 变换（方程 33-1）开始分析。 想看看这种控制关系在 z 域中是什么样子的。使用相当多的代数，可以将关系分为：Y[z]/X[z] ，即 z 域表示输出信号除以输入信号。就像拉普拉斯变换，这称为系统的传递函数(system’s transfer function)，并用 H(z) 来指定。以下是发现：

这是编写传递函数的两种方法之一。这种形式很重要，因为它直接包含递归系数。例如，假设知道数字滤波器的递归系数，例如从设计表中提供的递归系数：

直接写下系统的传递函数：

注意，“b”系数进入传递函数时，它们前面有一个负号。 或者，一些作者使用加法来写这个方程，但改变所有“b”系数的符号。这就是问题所在。如果给定一组递归系数（例如来自表格或滤波器设计程序），则“b”系数有 50-50 的几率与预期相反。如果没有发现这种差异，过滤器将非常不稳定。

方程33-3使用 z 的负幂次来表示传递函数，例如：$z^{-}1,z^{-}2,z^{-}3$ 等等。当将实际的一组递归系数代入后，可以将传递函数转换为使用正幂次的更传统形式，即：$z,z^2,z^3$ 。通过将示例的分子和分母都乘以$z^4$，得到：

正幂通常更容易使用，并且某些 z-domain 技术需要它们。为什么不直接用正幂重写方程33-3，而完全忘记负幂呢？不能！将分子和分母乘以 z 的最高幂的技巧只能在递归系数数已知的情况下使用。等式 33-3 是针对任意数量的系数编写的。关键是，DSP中经常使用正功率和负功率，需要知道如何在两种形式之间进行转换。

递归系统的传递函数很有用，因为它可以以递归系数无法操作的方式进行操作。这包括以下任务：将级联和并联级组合到一个系统中，通过指定极点和零点位置来设计滤波器，将模拟滤波器转换为数字滤波器等。这些运算由在 z-domain 中执行的代数执行，例如：乘法、加法和因式分解。完成这些运算后，传递函数以方程 33-3 的形式放置，从而可以识别新的递归系数。

与 s 域一样，z 域的一个重要特征是传递函数可以表示为极点和零点。这提供了 z 域的第二种一般形式：

每一个极点（p1, p2, p3等）和零点（z1, z2, z3等）都是一个复数。从方程33-4到33-3的过程中，需要扩展表达式并合并同类项。尽管这涉及大量的代数运算，但原则上很简单，并且很容易编写成计算机程序。然而，从方程33-3到33-4的转换更为困难，因为它需要对多项式进行因式分解。如果传递函数的阶数不超过二阶（即z的幂次不超过$z^2$），则可以使用二次方程进行因式分解。对于高于二阶的系统，通常无法使用代数方法进行因式分解，而必须采用数值方法。

与所有复数一样，极点和零点位置可以用极坐标或矩形形式表示。极坐标表示法的优点是与 z 平面的自然组织更加一致。相比之下，矩形形式通常更适合数学工作，也就是说，它通常更容易操作：$\sigma +j\omega$，与：$r{e}^{iw}$相比。

作为使用这些方程的示例，将通过以下步骤设计notch滤波器：

• 1)指定 z 平面中的极点零位置
• 2)以方程 33-4 的形式写下传递函数
• 3)将传递函数重新排列为方程 33-3 的形式
• 4)确定实现滤波器所需的递归系数。

图 33-3 显示了使用的示例：由两个极点和两个零点组成的notch滤波器，位于:

要了解为什么这是一个陷波滤波器，请将此零极点图与图 32-6（s 平面中的notch滤波器）进行比较。唯一的区别是，沿着单位圆移动以找到来自 z 平面的频率响应，而不是沿垂直轴移动以找到来自 s 平面的频率响应。从极点和零点的极性形式可以看出，notch将出现在固有频率 $\pi /4$ ，对应于 0.125 的采样率。

由于极点和零点位置是已知的，因此传递函数可以以方程 33-4 的形式编写，只需插入以下值：

为了找到实现此滤波器的递归系数，必须将传递函数重新排列为方程 33-3 的形式。首先，通过将项相乘来扩展表达式：

接下来，收集相似的项并减少。只要 z-plane 的上半部分是下半部分的镜像（如果处理的是真正的脉冲响应，情况总是如此），所有包含 $j$ 的项将被消除：

虽然这是以一个多项式除以另一个多项式的形式，但它没有像方程 33-3 所要求的那样使用 z 的负指数。这可以通过将分子和分母除以表达式中 z 的最高幂来改变，在本例中为 $z^2$：

由于传递函数现在采用方程 33-3 的形式，因此可以通过检查直接提取递归系数：

此示例提供了从极点零图获取递归系数的一般策略。在特定情况下，可以推导更简单的方程，将极点-零点位置与递归系数直接相关。例如，包含两个极点和两个零点的系统（称为双二阶 biquad）具有以下关系：

一旦指定了传递函数，如何找到频率响应呢？有三种方法：一种是数学方法，另外两种是计算（编程）方法。

1）数学方法基于在 z 平面上找到单位圆上的值。这是通过评估传递函数 H(z)(r=1)来完成的。具体来说：

• 首先将 H(z) 转移函数写为等式33-3或33-4的形式。
• 然后，将每个z替换为 $e^{-jw}$（即$r{e}^{iw},r=1$）。这为频率响应提供了一个数学方程 $H(\omega )$。然而，得到的表达式 $H(\omega )$ 非常不方便。通常需要大量的代数运算才能获得可识别的内容，如幅度和相位。虽然这种方法为频率响应提供了精确的方程，但很难在计算机程序中自动化。

2）求频率响应的第二种方法也使用在单位圆上计算 z 平面。不同之处在于，只计算频率响应的样本，而不是整个曲线的数学解。一个计算机程序可能在 $\omega =0$ 和 $\omega =\pi$ 之间循环 1000 个等距的频率。

这种方法效果很好，经常用于滤波器设计包中。其主要局限性在于，它没有考虑影响系统特性的舍入噪声。即使这种方法发现的频率响应看起来很完美，实现的系统也可能完全不稳定！

3）这就引出了第三种方法：从实际用于实现滤波器的递归系数中找到频率响应。首先，通过将脉冲传递到系统中来找到滤波器的脉冲响应。在第二步中，采用脉冲响应的DFT（当然使用FFT）来求出系统的频率响应。此过程唯一要记住的关键项目是，必须从脉冲响应中获取足够的样本，以便丢弃的样本无关紧要。

3 级联和并联级

复杂的递归滤波器通常分阶段设计，以简化 z 域的繁琐代数。图 33-4 说明了可以安排单个阶段的两种常见方式：级联级和具有附加输出的并行级。例如，低通和高通级可以级联以形成带通滤波器。同样，低通级和高通级的并联组合可以形成带阻滤波器。将这两个阶段称为系统 1 和系统 2 的组合，它们的递归系数分别称为：$a_0,a_1,a_2,b_1,b_2$ 和 $A_0,A_1,A_2,B_1,B_2$ 。目标是将这些阶段（级联或并行）组合成一个递归滤波器，称之为系统 3(system 3)，递归系数为：$a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,b_1,b_2,b_3,b_4$。

级联中系统的频率响应是通过乘法组合的。此外，并联系统的频率响应通过加法进行组合。z 域传递函数遵循这些相同的规则。这允许通过将问题移动到 z 域，执行所需的乘法或加法，然后返回到最终系统的递归系数来组合递归系统。

作为这种方法的一个例子，将计算出在级联中组合两个双二阶阶段的代数。每个阶段的传递函数通过使用适当的递归系数写出方程 33-3 来求得。然后通过乘以传递来找到整个系统的传递函数 H[z]，然后将传递函数的两个阶段相乘找到：

将多项式相乘并收集相似项：

由于这是方程 33-3 的形式，可以直接提取实现级联系统的递归系数：

这种技术的明显问题是需要大量的代数来乘法和重新排列多项式项。幸运的是，整个算法可以用一个简短的计算机程序来表达，如表33-1所示。尽管级联和并行组合需要不同的数学运算，但它们使用几乎相同的程序。特别是，两种算法之间只有一行代码不同，允许将两者组合成一个程序。

该程序的运行方式是将每个阶段的递归系数更改为传递函数，其形式为方程 33-3（第 220270 行）。在以适当的方式组合这些传递函数（第 290-380 行）后，信息将移回递归系数（第 400 行至第 430 行）。

这个程序的核心在于如何表示和组合传递函数的多项式。例如，正在组合的第一阶段的分子是：$a_0+a_1{z}^{-1}+a_2{z}^{-2}+a_3{z}^{-3}$。 这个多项式在程序中通过存储系数：$a_0,a_1,a_2,a_3,...$ 来表示。同样地，第二阶段的分子由 $A1[0],A1[1],A1[2],A1[3]...$ 表示，这些值存储在数组中，而组合系统的分子由 $A3[0],A3[1],A3[2],A3[3]...$ 表示。这个程序的目的是只通过引用多项式的系数来表示和操作多项式。

问题是，已知 A1[] 和 A2[]，如何计算 A3[]？答案是，当两个多项式相乘时，它们的系数是通过卷积得到的。用数学方程表示就是：A1[]*A2[]=A3[]. 这允许使用标准的卷积算法来找到级联阶段的传递函数，通过对两个分子数组和两个分母数组进行卷积来实现。

组合并行阶段的过程稍微复杂一些。在代数中，分数是根据以下公式相加的：

由于每个传递函数都是分数（一个多项式除以另一个多项式），通过将分母相乘并在分子中添加叉积来并行组合阶段。这意味着分母的计算方式与级联阶段的计算方式相同，但分子计算更为复杂。在第 340 行中，对级联阶段的分子进行卷积以找到组合传递函数的分子。在第 350 行中，平行阶段组合的分子计算为两个分子与两个分母的卷积之和。第 360 行处理这两种情况的分母计算。

4 光谱反演

如图33-5所示，频谱反转是通过从原始信号中减去系统的输出来实现的。此过程可以被视为并行组合两个阶段，其中一个阶段恰好是恒定系统（identity system，输出与输入相同）。使用这种方法，可以证明“b”系数保持不变，修改后的“a”系数由下式给出：

图33-6显示了两种常见频率响应的频谱反转：低通滤波器（a）和notch滤波器（c）。这分别产生一个高通滤波器（b）和一个带通滤波器（d）。

5 增益变化

假设有一个递归滤波器，需要修改递归系数，使输出信号的幅度发生变化。例如，可能需要这样做，以确保滤波器在通带中具有单位增益。实现这一点的方法非常简单：将“a”系数乘以希望增益变化的任何系数，而不理会“b”系数。

在调整增益之前，可能想知道它的当前值。由于增益必须在通带中的某个频率下指定，因此该过程取决于所使用的滤波器类型。低通滤波器的增益测量频率为零，而高通滤波器使用允许的最大频率 0.5。推导这两个特殊频率下增益的表达式非常简单。这是如何完成的。

首先，推导一个零频率增益的方程。这个想法是强制每个输入样本的值为 1，导致每个输出样本的值为 G，即试图找到的系统的增益。从编写递归方程开始，即输入和输出信号之间的数学关系：

接下来，为每个输入样本插入一个1，为每个输出样本插入 G。换句话说，强制系统以零频率运行。等式变为：

求解 G 时，根据系统的递归系数，提供系统在零频率下的增益：

要使滤波器在直流时具有 1 的增益，请使用此关系式计算现有增益，然后将所有“a”系数除以 G。

0.5 频率下的增益以类似的方式找到：强制输入和输出信号以该频率工作，并观察系统如何响应。当频率为 0.5 时，输入信号中的样本在 -1 和 1 之间交替，即连续样本为：1、-1、1、-1、1、-1、1等。相应的输出信号也以符号交替出现，幅度等于系统的增益：G、-G、G、-G、G、-G 等。将这些信号代入递归方程：

求解 G 时，系统增益频率为 0.5，使用其递归系数：

和以前一样，可以通过将所有“a”系数除以 G 的计算值来归一化滤波器以获得单位增益。 在计算机程序中计算方程 33-8 需要一种方法来生成奇数系数的负号和偶数系数的正号。最常见的方法是将每个系数乘以 $(-1{)}^k$，其中 k 是系数索引。即当 k 遍历以下值：0、1、2、3、4、5、6 等时，表达式取值：1，-1、1、-1、1、-1、1 等。

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