2020张宇1000题【好题收集】【第七章：三重积分、曲线曲面积分】

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第一类曲线积分

基础知识

$$ds=\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx$$
$$ds=\sqrt{r^2+r^{\prime 2}}d\theta$$
$这个是\{\begin{array}{c}x=rcos\theta \\ \\ y=rsin\theta \end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}dx=[r^{\prime }cos\theta +r(-sin\theta )]d\theta \\ \\ dy=[r^{\prime }sin\theta +rcos\theta ]d\theta \end{array}然后ds=\sqrt{(dx{)}^2+(dy{)}^2}来的$

7.15

$$求抛物柱面y=\sqrt{x}被平面z=0,z=y和y=1所截部分的面积$$
我是投影到$xOz$面来算的
$S=\iint dS=\iint \frac{dxdz}{cos\beta }$

而$cos\beta =\frac{F_y}{\sqrt{F_x^2+F_y^2+F_z^2}}$

$\because y=\sqrt{x}\Rightarrow x-y^2=0$

$\therefore \{\begin{array}{c}{F}_x=1\\ \\ F_y=-2y\\ \\ F_z=0\end{array}$
$\therefore cos\beta =\frac{-2y}{\sqrt{1+4y^2}}=\frac{-2\sqrt{x}}{\sqrt{1+4x}}$
$$\therefore S=\iint \frac{\sqrt{1+4x}}{-2\sqrt{x}}dxdz={\int }_0^1{\int }_0^{\sqrt{x}}\frac{\sqrt{1+4x}}{-2\sqrt{x}}dzdx={\int }_0^1\frac{\sqrt{1+4x}}{-2}dx=\frac{-(5\sqrt{5}-1)}{12}$$
但是为啥算出来是负的喃？
原来是我这里错了

$F(x,y,z)=x-y^2=0$要写成$F(y,x,z)=y^2-x=0$
把与投影面垂直的那个坐标轴弄成正的
所以应该是：
$\{\begin{array}{c}{F}_x=-1\\ \\ F_y=2y\\ \\ F_z=0\end{array}$
$\therefore cos\beta =\frac{F_y}{\sqrt{F_x^2+F_y^2+F_z^2}}=\frac{2y}{\sqrt{1+4y^2}}=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{1+4x}}$
∴ S = ∬ d x d z c o s β = ∬ 1 + 4 x 2 x d x d z = ∫ 0 1 ∫ 0 x 1 + 4 x 2 x d z d x = ∫ 0 1 1 + 4 x 2 d x = ( 5 5

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